Umformung: Binomialkoeffizient < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:55 Di 08.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
sitze hier an einer Herleitung in der diverse nicht triviale Umformungen von und mit Binomialkoeffizienten durchgeführt wurden.
Es geht um folgende:
(es gilt p+q=1)
1) [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] p - [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] q = [mm] (\vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1}) [/mm] p - [mm] \vektor{n \\ k-1}
[/mm]
Wo ist hier das q hin? Ich verstehs nicht.
2) [mm] (\vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1}) [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
3) [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n+1} [/mm] * [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
Wenn ich da Zahlen einsetze und es anschließend ausrechne, kommt tatsächlich dasselbe raus, jedoch fehlt mir gänzlich das Verständnis dafür.
Kann sich jemand die Mühe machen, mir paar Ratschläge zu geben? Oder kennt ihr einen Link, wo ich zu dem Thema etwas nachlesen kann?
Vielen Dank für jedwege Hilfe!
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Hallo Dynek,
auch wenn dies schon Deine fünfte Anfrage ist (und die erste niemand beantwortet hat), so hat Dir offenbar noch niemand
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
gewünscht.
Die Aufgaben sind alle nicht schwierig, aber die erste hast du falsch abgeschrieben:
> Es geht um folgende:
> (es gilt p+q=1)
>
> 1) [mm]\vektor{n \\ n}[/mm] p - [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm] q = [mm](\vektor{n \\ k}[/mm]
> + [mm]\vektor{n \\ k-1})[/mm] p - [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm]
>
> Wo ist hier das q hin? Ich verstehs nicht.
Richtig wären diese beiden Versionen:
[mm] \vektor{n \\ \red{k}}p-\vektor{n \\ k-1}q=\left(\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1}\right)p-\vektor{n \\ k-1}
[/mm]
oder
[mm] \vektor{n \\ n}p-\vektor{n \\ k-1}q=\left(\vektor{n \\ \red{n}}+\vektor{n \\ k-1}\right)p-\vektor{n \\ k-1}
[/mm]
oder überhaupt
$ Dingens*p-Dongens*q=(Dingens+Dongens)p-Dongens $, sofern p+q=1
Der Nachweis ist nicht schwierig. Alles, was Du brauchst, ist Klammerrechnung und Einsetzen. Über Binomialkoeffizienten musst Du dazu noch überhaupt nichts wissen.
(Hier scheint sogar Wissen schädlich: wozu soll die Formel denn hilfreich sein, zumal sie doch trivial ist?)
> 2) [mm](\vektor{n \\ k}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ k-1})[/mm] = [mm]\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
>
> 3) [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm] = [mm]\bruch{k}{n+1}[/mm] * [mm]\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
Beides ist leicht zu zeigen, wenn Du weißt, wie die Binomialkoeffizienten allgemein berechnet werden.
Weißt Du's?
> Wenn ich da Zahlen einsetze und es anschließend ausrechne,
> kommt tatsächlich dasselbe raus, jedoch fehlt mir
> gänzlich das Verständnis dafür.
Wie sind denn die Binomialkoeffizient definiert? Hast Du eine Definition vorliegen? Dann wende sie doch mal an.
> Kann sich jemand die Mühe machen, mir paar Ratschläge zu
> geben? Oder kennt ihr einen Link, wo ich zu dem Thema etwas
> nachlesen kann?
Ich würde bei google anfangen und den meist auftauchenden Wikipedia-Link verfolgen, und dann mal weitersehen...
> Vielen Dank für jedwege Hilfe!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:58 Di 08.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Ja, das erste habe ich falsch aufgeschrieben:
1) [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] p - [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] q = [mm] (\vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1}) [/mm] p - [mm] \vektor{n \\ k-1}
[/mm]
So ist es richtig.
2) [mm] (\vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1}) [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
3) [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n+1} [/mm] * [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
Also ich weiß, dass für den Binomialkoeffizienten gilt:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!k!}
[/mm]
Soll ich mit dieser arbeiten und versuchen umzuformen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das erste habe ich falsch aufgeschrieben:
>
> 1) [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] p - [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm] q = [mm](\vektor{n \\ k}[/mm]
> + [mm]\vektor{n \\ k-1})[/mm] p - [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm]
>
> So ist es richtig.
>
> 2) [mm](\vektor{n \\ k}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ k-1})[/mm] = [mm]\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
>
> 3) [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm] = [mm]\bruch{k}{n+1}[/mm] * [mm]\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
>
> Also ich weiß, dass für den Binomialkoeffizienten gilt:
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{(n-k)!k!}[/mm]
>
> Soll ich mit dieser arbeiten und versuchen umzuformen?
Ja, tu das
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:13 Di 08.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Ok,
erstmal zu 3):
[mm] \bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n+1!}{((n+1)-k)!k!}
[/mm]
Ok, hier sehe ich die Gleichheit. Wir teilen reichts durch n+1, sodass oben eigentlich wieder n! steht. (n-(k-1))! und ((n+1)-k)! ist dasselbe. das k im Nenner wird durch das [mm] \bruch{k}{n+1} [/mm] um Eins erniedrigt, sodass man auch k-1 schreiben könnte.
Aber wie soll ich das zur Aufgabe 1) anwenden, wenn da doch p und q eine Rolle spielen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:19 Di 08.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dynek!
> [mm]\bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}[/mm] = [mm]\bruch{k}{n+1}[/mm] * [mm]\bruch{n+1!}{((n+1)-k)!k!}[/mm]
> Ok, hier sehe ich die Gleichheit. Wir teilen reichts durch n+1,
Nein, man kürzt!
> sodass oben eigentlich wieder n! steht.
> (n-(k-1))! und ((n+1)-k)! ist dasselbe.
> das k im Nenner wird durch das [mm]\bruch{k}{n+1}[/mm] um Eins
> erniedrigt, sodass man auch k-1 schreiben könnte.
Nein, man kürzt wiederum und es verbleibt [mm] $(k-1)\red{!}$ [/mm] .
> Aber wie soll ich das zur Aufgabe 1) anwenden, wenn da doch
> p und q eine Rolle spielen?
Genau so. Schreibe die Binomialkoeffizienten doch einfach mal hin und forme etwas um.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Di 08.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Mit auf den Hauptnenner bringen meinst auf ((n+1)-k)!(k)! ?
Die einzige Umformung, die mir einfällt ist folgende:
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!} [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{((n+1)-k)!(k-1)!}
[/mm]
Tut mir Leid, wenn es so aussieht, als wenn ich wenig Eigeninitiative zeigen würde, nur dem ist ehrlich nicht so! Wenn man damit kaum Erfahrungen hat, fällt es einem sehr schwer, und zu denen gehöre ich.
Ich danke euch aber wirklich sehr für euer Bemühen.
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Hallo,
> Also, ich komme nicht voran, da ich nicht genau weiß, wie
> ich mit der Addition umgehen muss.
>
> bei 2) habe ich ausgeschrieben:
>
> [mm]\bruch{n!}{ (n-k)!k!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)!}{((n+1)-k)!k!}[/mm]
Also zunächst mal ist aus etwas Wahrem etwas Wahres folgern noch kein Beweis. Folgere aus [mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!} [/mm] = .... =.... [mm] =\bruch{(n+1)!}{((n+1)-k)!k!}
[/mm]
>
> Wenn das zu multiplizieren wäre, könnte ich mich was mit
> Kürzen etc. vorstellen, so weiß ich irgendwie nicht
> weiter.
na die linke Seite auf den Hauptnenner bringen und zusammenfassen...?
>
> und bei 1) bin ich komplett ratlos:
>
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!k!}*p[/mm] - [mm]\bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}*q[/mm] =
> [mm](\bruch{n!}{(n-k)!k!}+\bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!})*p[/mm] -
> [mm]\bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}[/mm]
>
Erst mal 2) und 3) beweisen und dann einsetzen.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Di 08.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Mit auf den Hauptnenner bringen meinst auf ((n+1)-k)!(k)! ?
Die einzige Umformung, die mir einfällt ist folgende:
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!} [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{((n+1)-k)!(k-1)!}
[/mm]
Tut mir Leid, wenn es so aussieht, als wenn ich wenig Eigeninitiative zeigen würde, nur dem ist ehrlich nicht so! Wenn man damit kaum Erfahrungen hat, fällt es einem sehr schwer, und zu denen gehöre ich.
Ich danke euch aber wirklich sehr für euer Bemühen.
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Hallo Dynek,
"auf den Hauptnenner bringen" funktioniert hier genauso wie sonst auch, also das kgV aller Nenner der Brüche bestimmen, die Du addieren willst.
Ich nehme an, Dich irritiert die Fakultätsschreibweise. Da muss man manchmal etwas mehr Nachdenken. 
> Mit auf den Hauptnenner bringen meinst auf ((n+1)-k)!(k)!
Ja, genau.
> Die einzige Umformung, die mir einfällt ist folgende:
>
> [mm]\bruch{n!}{ (n-k)!k!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{ (n-k)!k!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{((n+1)-k)!(k-1)!}[/mm]
Ja, schon, aber da ist ja eigentlich noch nichts passiert außer der Auflösung einer vorher subtrahierten Klammer.
Die Frage ist doch, womit musst Du den linken Bruch erweitern, und womit den rechten, damit beide auf den Hauptnenner kommen?
Die nötige Rechenregel ist diese: m!*(m+1)=(m+1)!
Du brauchst sie beiden Brüchen, natürlich nicht mit der Variablen m.
> Tut mir Leid, wenn es so aussieht, als wenn ich wenig
> Eigeninitiative zeigen würde, nur dem ist ehrlich nicht
> so! Wenn man damit kaum Erfahrungen hat, fällt es einem
> sehr schwer, und zu denen gehöre ich.
Schon gut. Fakultäten sind reine Übungssache. Die Notation ist eigentlich ganz praktisch, beinhaltet aber immer wieder ein paar Tücken. Es gibt wenig andere Bereiche, wo man so leicht Fehler machen kann.
Im Zweifelsfall erinnere Dich immer wieder daran, wofür die Fakultätsschreibweise eine Abkürzung darstellt, bzw. wie sie definiert ist. Damit sind fast alle Problemfälle zu lösen, auch wenn der Denkweg etwas länger werden kann.
> Ich danke euch aber wirklich sehr für euer Bemühen.
Na, darum engagieren wir uns doch hier. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Di 08.06.2010 | | Autor: | Dynek |
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!} [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{((n+1)-k)!(k-1)!} [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{((n+1)-k)!(k)!}*k
[/mm]
Wie ich deine angegeben Rechenformel einsetzen soll, weiß ich leider nicht.
Ich möchte nicht dreist erscheinen, aber darf ich dich um weitere Lösung bitten? Ich muss das heute nachmittag zumindest so verstanden haben, dass ich es halbwegs vortragen kann. Und ich komme jetzt einfach nicht drauf, vielleicht liegts am Zeitdruck und Stress.
Ich weiß, dass das eigentlich nicht Sinn der Sache hier ist, aber das würde mir zumindest temporär mehr helfen. =/
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Hallo nochmal,
es hilft aber doch nur, wenn du es selbst verstehst.
Die gleiche Formel, nur aufgabennäher formuliert:
1) $ (n-k)!*(n+1-k)=(n+1-k)! $
2) $ (k-1)!*k=k! $
Besser?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 08.06.2010 | | Autor: | Dynek |
So, habe mir folgendes überlegt:
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!} [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{ (n-k)!k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{((n+1)-k)!(k-1)!} [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{ ((n+1)-k)!k!}*(n+1-k) [/mm] + [mm] \bruch{n!}{((n+1)-k)!(k)!}+k [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{ ((n+1)-k)!k!}(n+1-k+k) [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{ ((n+1)-k)!k!}(n+1) [/mm] =
[mm] \bruch{(n+1)!}{ ((n+1)-k)!k!}
[/mm]
Das dürfte so korrekt sein, oder?
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Hallo nochmal,
> So, habe mir folgendes überlegt:
>
> [mm]\bruch{n!}{ (n-k)!k!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{ (n-k)!k!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{((n+1)-k)!(k-1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{ ((n+1)-k)!k!}*(n+1-k)[/mm] +
> [mm]\bruch{n!}{((n+1)-k)!(k)!}\red{*}k[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{ ((n+1)-k)!k!}(n+1-k+k)[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{ ((n+1)-k)!k!}(n+1)[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)!}{ ((n+1)-k)!k!}[/mm]
>
> Das dürfte so korrekt sein, oder?
Bis auf einen Tippfehler (Du hattest statt des roten * oben ein +), ja!
Geht doch...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Di 08.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Alles klar, danke für die Hilfe. Und du hast recht, jetzt wo ich es _halbwegs_ selbständig gelöst habe, ist es verständlich und ergibt Sinn.
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Hallo Dynek,
bei Aufgabe 1 brauchst Du Deine Formeln nicht, wie ich doch schon geschrieben habe.
Ich setze mal schreibfaul [mm] a=\vektor{n\\k} [/mm] und [mm] b=\vektor{n\\k-1}
[/mm]
Dann gilt, unter Verwendung von [mm] p+q=1\gdw{q=1-p}:
[/mm]
$ ap-bq=ap-b(1-p)=ap-b+bp=(a+b)p-b $
...was zu zeigen war.
Grüße
reverend
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