Umformung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Fr 14.03.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Forme den Ausdruck [mm] -\bruch{x}{i} [/mm] geschickt um. |
Also ich bin folgendermassen vorgegangen;
[mm] -\bruch{x}{i} [/mm] = [mm] -\bruch{x}{\wurzel{-1}} [/mm] = [mm] -\wurzel{-\bruch{x^2}{1}} [/mm] = [mm] -\wurzel{(-1)*x^2)}= [/mm] -i*x
Aber man sollte doch eigentlich auf i*x kommen.
Wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
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Hallo jokerose,
> Forme den Ausdruck [mm]-\bruch{x}{i}[/mm] geschickt um.
> Also ich bin folgendermassen vorgegangen;
>
> [mm]-\bruch{x}{i}[/mm] = [mm]-\bruch{x}{\wurzel{-1}}[/mm] =
> [mm]-\wurzel{-{\bruch{x^{2}}{1}}[/mm] = [mm]-\wurzel{(-1)*x^2)}=[/mm] -i*x
>
> Aber man sollte doch eigentlich auf i*x kommen.
> Wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
Der Fehler ist beim Übergang von [mm]-\bruch{x}{\wurzel{-1}}[/mm] zu [mm]-\wurzel{-{\bruch{x^{2}}{1}[/mm] passiert.
Üblicherweise macht man das so:
[mm]-\bruch{x}{i}=-\bruch{x}{i}*\bruch{i}{i}=-\bruch{i*x}{i*i}=-\bruch{i*x}{-1}=+i*x[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Fr 14.03.2008 | | Autor: | jokerose |
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> Der Fehler ist beim Übergang von [mm]-\bruch{x}{\wurzel{-1}}[/mm] zu
> [mm]-\wurzel{-{\bruch{x^{2}}{1}[/mm] passiert.
>
Weshalb ist denn diese Umformung nicht erlaubt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Der Fehler ist beim Übergang von [mm]-\bruch{x}{\wurzel{-1}}[/mm] zu
> > [mm]-\wurzel{-{\bruch{x^{2}}{1}[/mm] passiert.
> >
>
> Weshalb ist denn diese Umformung nicht erlaubt?
Du willst an der Stelle ja so etwas wie [mm] $\sqrt{a}*\sqrt{\frac{1}{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ [/mm] ausnutzen. Sowas darfst Du jedenfalls, wenn $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $b > 0$, dann ist das kein Problem. Aber wenn Du [mm] $\sqrt{r}:=i*\sqrt{|r|}$ [/mm] für $r < 0$ benutzt, so kann diese Regel in dieser Form nicht gelten. Das erkennst Du z.B. an der folgenden Gleichungskette, die andernfalls korrekt wäre
[mm] $1=\sqrt{1}=\sqrt{\frac{-1}{-1}}=\sqrt{-1}*\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{-1}*\sqrt{-1}=-1$
[/mm]
D.h., so könnte man $1=-1$ folgern. Also Vorsicht mit den "Rechenregeln für Wurzeln", wenn Du keine Wurzeln aus positiven Zahlen hast. Die Rechenregeln kann man nicht einfach analog übernehmen.
Zudem mag ich alleine schon die Notation [mm] $i=\sqrt{-1}$ [/mm] nicht, weil die Gleichung [mm] $z^2=-1$ [/mm] in $z$ im Komplexen zwei Lösungen hat, nämlich [mm] $z=\pm [/mm] i$. Nichtsdestotrotz rechnen viele einfach mit [mm] $\sqrt{-3}$, [/mm] wobei damit dann eigentlich die Komplexe Zahl [mm] $i*\sqrt{3}$ [/mm] gemeint ist usw.
Also:
Wenn Du mit solchen "symbolischen" Wurzeln rechnen willst, dann beachte, dass man dann in dieser Notation nicht einfach "Rechenregeln", die wir mit der ursprünglichen Definition der Wurzel kennen, übernehmen darf. So gilt hier z.B. auch nicht (und sowas benutzt Du auch an einer anderen Stelle)
[mm] $\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}$ [/mm] für z.B. $a,b <0$, denn andernfalls erhielten wir den Widerspruch
[mm] $-1=i^2=i*i=\sqrt{-1}*\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)*(-1)}=\sqrt{1}=1$
[/mm]
Zudem ist oben noch ein weiteres Problem:
Du benutzt [mm] $x=\sqrt{x^2}$. [/mm] Stimmt das überhaupt für $x < 0$? Setze mal z.B. $x=-3$ ein 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Sa 15.03.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo Marcel,
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!!!
gruss Jokerose
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