Umformen von Prädikaten < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
| Aufgabe | Man bilde die Negation folgender Aussagen der Prädikatenlogik und forme sie so um,
daß das Negationszeichen nur unmittelbar vor den einzelnen Prädikaten steht.
(a) ∀x(q(x)⇒ ¬p(x)) (b) ∀x(p(x)⇒ ¬q(x) v ¬r(x))
(c) ∃x(s(x) ^ ¬q(x)) |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
(habe aber keine Antwort erhalten bisher)
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=460736
Ich muss diese Prädikate umformen, wie oben steht, dass die Negatiosnzeichen vor den einzelnen Prädikaten steht.
Ich hab das mal gemacht, komme aber irgendwie auf 2 Varianten. Ich wollte mal Fragen, welche davon richtig ist und wenn ob ich nicht doch ganz falsch denke.
zu a) ∃x (¬q(x) ⇒ p(x))
oder so?: ∃x (q(x) v p(x)), weil ja ⇒ Implikation nicht oder ergibt.
zu b) ∃x(¬p(x) ⇒ q(x) ^ r(x))
oder so?: ∃x(p(x) v q(x) ^ r(x))
zu c) ∀x(¬s(x) v q(x))
Danke für einen Rat.
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Hallo Tobi85,
> Man bilde die Negation folgender Aussagen der
> Prädikatenlogik und forme sie so um,
> daß das Negationszeichen nur unmittelbar vor den
> einzelnen Prädikaten steht.
> (a) ∀x(q(x)⇒ ¬p(x)) (b) ∀x(p(x)⇒ ¬q(x) v ¬r(x))
> (c) ∃x(s(x) ^ ¬q(x))
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> (habe aber keine Antwort erhalten bisher)
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=460736
>
> Ich muss diese Prädikate umformen, wie oben steht, dass
> die Negatiosnzeichen vor den einzelnen Prädikaten steht.
> Ich hab das mal gemacht, komme aber irgendwie auf 2
> Varianten. Ich wollte mal Fragen, welche davon richtig ist
> und wenn ob ich nicht doch ganz falsch denke.
>
> zu a) ∃x (¬q(x) ⇒ p(x))
> oder so?: ∃x (q(x) v p(x)), weil ja ⇒ Implikation nicht
> oder ergibt.
Weder noch!
Die obige Formel ist zu verneinen, also
[mm]\neg \ \left( \ \forall x:(q(x)\Rightarrow \neg p(x)) \ \right)[/mm]
Dabei dreht sich der Quantor um und die Aussage wird verneint!
Gibt: [mm]\exists x: \neg\left(q(x)\Rightarrow \neg p(x)\right)[/mm]
Wie schaut die Verneinung einer Implikation aus?
[mm]\neg(A\Rightarrow B) \ \equiv \ A\wedge \neg B[/mm]
Hier also [mm]q(x)\wedge \neg(\neg p(x))[/mm], also [mm]q(x)\wedge p(x)[/mm]
Setzte noch alles zusammen
>
> zu b) ∃x(¬p(x) ⇒ q(x) ^ r(x))
> oder so?: ∃x(p(x) v q(x) ^ r(x))
Weder nich, beachte meine Anmerkung oben und die Regeln von de Morgan ..
>
> zu c) ∀x(¬s(x) v q(x)) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke für einen Rat.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
War ja klar heheh, gut das ich nochmal nachgehakt habe..
Nur ist mir dann nicht klar wie das gemeint ist das die Negationszeichen nur direkt vor den Prädikaten stehen muss.
also wäre dann
a) [mm] $\exists [/mm] x: (q(x) [mm] \wedge [/mm] p(x)$
b) [mm] $\neg \forall [/mm] x: (p(x) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x) $ = [mm] $\exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] (p(x) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x)) $ = [mm] $\exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \Rightarrow [/mm] q(x) [mm] \wedge [/mm] r(x) $ = [mm] $\exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \wedge \neg [/mm] ((q(x) [mm] \wedge [/mm] r(x)) $
= [mm] $\exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \wedge \neg [/mm] (q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x) $
so besser?
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Hallo nochmal,
> War ja klar heheh, gut das ich nochmal nachgehakt habe..
> Nur ist mir dann nicht klar wie das gemeint ist das die
> Negationszeichen nur direkt vor den Prädikaten stehen
> muss.
Ich bin kein Logiker und weiß nicht genau, was ein Prädikat ist (wie habt ihr das definiert?), aber ich denke mir, dass damit gemeint ist, dass man die Negation so weit vereinfachen soll, bis die Negationszeichen dann vor den Aussagen [mm]p(x), q(x)[/mm] usw. stehen ...
>
>
> also wäre dann
> a) [mm]\exists x: (q(x) \wedge p(x)[/mm]
> b) [mm]\neg \forall x: (p(x) \Rightarrow \neg q(x) \vee \neg r(x)[/mm]
> = [mm]\exists x: \neg (p(x) \Rightarrow \neg q(x) \vee \neg r(x))[/mm]
> = [mm]\exists x: \neg p(x) \Rightarrow q(x) \wedge r(x)[/mm] = ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, wie man eine Implikation verneint, habe ich dir oben schon geschrieben ...
Richtig: [mm]\exists x: p(x) \ \wedge \ \neg(\neg q(x)\vee\neg r(x))[/mm]
> [mm]\exists x: \neg p(x) \wedge \neg ((q(x) \wedge r(x))[/mm]
> =
> [mm]\exists x: \neg p(x) \wedge \neg (q(x) \vee \neg r(x)[/mm]
>
> so besser?
Das musst du nochmal nachrechnen, außerdem sind die Gleichheitszeichen falsch, Aussagen sind ja nicht gleich, sondern äquivalent, mache also [mm]\gdw[/mm] oder [mm]\equiv[/mm] dazwischen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Ja genau so hab ichs auch verstanden. Bin auch kein Logiker;)
Hmm komisch ich habs doch genauso gemacht wie du eben auch... das Implikationszeichen umgewandelt in ein $ [mm] \wedge \neg [/mm] $ und dann den ganzen rest geklammert und wenn ich das ann auf löse dan dreht sich in den Klammern alles rum.
Wenn ich dann $ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] (p(x) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x)) $ umfome erhalte ich: $ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \Rightarrow [/mm] q(x) [mm] \wedge [/mm] r(x) $ da sich dann alles rumdreht wenn ich dir klammern auflöse, da ich ja negieren soll.
Ahh stimmt ich habe meinen Fehler... dann wird ja das Implikationszeichen auch schon negiert... sorry nicht aufgepasst.
also heisst es dann:$ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] (p(x) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x)) $ [mm] \equiv [/mm] $ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \wedge \neg (\neg [/mm] q(x) [mm] \wedge \neg [/mm] r(x)) $ [mm] \equiv [/mm] $ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \wedge [/mm] q(x) [mm] \vee [/mm] r(x)) $
nun richtig?
Und das mit den Äquivalentszeichen war mir natürlich auch klar.
Danke für die Tipps,
Gruß
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Hallo nochmal,
> Ja genau so hab ichs auch verstanden. Bin auch kein
> Logiker;)
>
> Hmm komisch ich habs doch genauso gemacht wie du eben
> auch... das Implikationszeichen umgewandelt in ein [mm]\wedge \neg[/mm]
> und dann den ganzen rest geklammert und wenn ich das ann
> auf löse dan dreht sich in den Klammern alles rum.
>
> Wenn ich dann [mm]\exists x: \neg (p(x) \Rightarrow \neg q(x) \vee \neg r(x))[/mm]
> umfome erhalte ich: [mm]\exists x: \neg p(x) \Rightarrow q(x) \wedge r(x)[/mm]
> da sich dann alles rumdreht wenn ich dir klammern auflöse,
> da ich ja negieren soll.
Nein, es wird aus [mm]\neg(A\Rightarrow B)[/mm] doch [mm]A\wedge\neg B[/mm], hier mit [mm]A=p(x)[/mm] und [mm]B=\neg q(x)\vee\neg r(x)[/mm]
Die Aussage vor dem Pfeil wird nicht negiert!!
Also [mm]... \exists x: \red{p(x)} \ \wedge \neg(\text{Rest})[/mm]
>
> Ahh stimmt ich habe meinen Fehler... dann wird ja das
> Implikationszeichen auch schon negiert... sorry nicht
> aufgepasst.
> also heisst es dann:[mm] \exists x: \neg (p(x) \Rightarrow \neg q(x) \vee \neg r(x))[/mm]
> [mm]\equiv[/mm] [mm]\exists x: \neg p(x) \wedge \neg (\neg q(x) \wedge \neg r(x))[/mm]
Nein, p wird nicht negiert und das [mm]\vee[/mm] dreht sich erst um, wenn du die Negation der Klammer berechnest (gem. de Morgan)
> [mm]\equiv[/mm] [mm]\exists x: \neg p(x) \wedge q(x) \vee r(x))[/mm]
>
> nun richtig?
Nein, neuer Versuch!
>
> Und das mit den Äquivalentszeichen war mir natürlich auch
> klar.
>
> Danke für die Tipps,
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
aber ich erhalte doch dann [mm] $\neg [/mm] p(x)$ weil das doch aus der Anfangs Gleichung resultiert..da stand: $ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] (p(x) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x)) $ also muss ich p(x) negieren wenn ich die Klammer auflöse und aus [mm] $\neg [/mm] q(x)$ wird nur q(x).
also er halte ich dann aus: $ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] (p(x) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x)) $ [mm] \equiv [/mm]
$ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \wedge \neg (\neg [/mm] q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x)) $
 oder ist das nicht so?
stimmt das oder war eben falsch, da ich ja das noch net aufgelöst hatte aber die negation von p(x) resultiert ja noch aus der Anfangsnegation der Gleichung.
aus: $ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \wedge \neg (\neg [/mm] q(x) [mm] \vee \neg [/mm] r(x)) $ wird dann natürlich: $ [mm] \exists [/mm] x: [mm] \neg [/mm] p(x) [mm] \wedge [/mm] q(x) [mm] \wedge [/mm] r(x) $
ich glaube nun bin ich verwirrt:P
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Hallo nochmal,
> aber ich erhalte doch dann [mm]\neg p(x)[/mm] weil das doch aus der
> Anfangs Gleichung resultiert..da stand: [mm]\exists x: \neg (p(x) \Rightarrow \neg q(x) \vee \neg r(x))[/mm]
> also muss ich p(x) negieren
Nein! Und wenn du das noch 100 Mal sagst
> wenn ich die Klammer auflöse
> und aus [mm]\neg q(x)[/mm] wird nur q(x).
> also er halte ich dann aus: [mm]\exists x: \neg (p(x) \Rightarrow \neg q(x) \vee \neg r(x))[/mm]
> [mm]\equiv[/mm]
> [mm]\exists x: \neg p(x) \wedge \neg (\neg q(x) \vee \neg r(x))[/mm]
>
> oder ist das nicht so?
> stimmt das oder war eben falsch, da ich ja das noch net
> aufgelöst hatte aber die negation von p(x) resultiert ja
> noch aus der Anfangsnegation der Gleichung.
> aus: [mm]\exists x: \neg p(x) \wedge \neg (\neg q(x) \vee \neg r(x))[/mm]
> wird dann natürlich: [mm]\exists x: \neg p(x) \wedge q(x) \wedge r(x)[/mm]
>
> ich glaube nun bin ich verwirrt:P
Ja, denke ich auch!
Ich machs mal farbig:
Eine Implikation [mm]A\Rightarrow B[/mm] wird verneint, indem man A stehen lässt, aus dem [mm]\Rightarrow[/mm] ein [mm]\wedge[/mm] macht und B verneint.
Also [mm]\neg(\red{A}\green{\Rightarrow}\blue{B}) \ \equiv \ \red{A} \ \green{\wedge} \ \textcolor{magenta}{\neg}\blue{B}[/mm]
Ok soweit? Das kannst du dir anhand einer Wahrheitswertetabele klarmachen:
Hier müssen wir folgendes verneinen: [mm]p(x)\Rightarrow (\neg q(x)\vee\neg r(x))[/mm]
In den Farben oben ist also zu bestimmen:
[mm]\neg\left[\red{p(x)} \ \green{\Rightarrow} \ \blue{(\neg q(x)\vee\neg r(x))}\right][/mm]
Das gibt also [mm]\red{p(x)} \ \green{\wedge} \ \textcolor{magenta}{\neg}\blue{(\neg(q(x)\vee\neg(r(x))}[/mm]
Mit de Morgen: [mm]\equiv \ \red{p(x)} \ \green{\wedge} \ \blue{(\neg\neg q(x) \ \wedge \ \neg\neg r(x))} \ \equiv \ \red{p(x)} \ \green{\wedge} \ \blue{q(x)\wedge r(x)}[/mm]
Ich hoffe, das zerstreut nun die Verwirrung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Ohhhhhhhhhhhhhh!
Jaaa natürlich, du hast natürlich recht!
Wenn man DeMorgan anwendet, dann wird bei Negation der Implikation das vorder natürlich nicht negiert.
Ich sah den Wald vor lauter Bäument nicht.
Nun denke ich hab ichs und bin nicht mehr verwirrt sondern viel schlauer als vorher.
Vielen Dank!
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Hallo nochmal,
> Ohhhhhhhhhhhhhh!
>
> Jaaa natürlich, du hast natürlich recht!
> Wenn man DeMorgan anwendet, dann wird bei Negation der
> Implikation das vorder natürlich nicht negiert.
Nein, das hat damit nichts zu tun!
Zuerst wird die Implikation negiert.
Dabei bleibt das Ding vor dem Pfeil stehen, das nach dem Pfeil wird komplett negiert, der Pfeil wird zu UND
Die hintere Aussage, die dann negiert wird, ist HIER eine "Veroderung", die und nur die wird DANN mit de Morgen verarztet.
De Morgen wird NUR auf die hintere Klammer angewendet, das voranstehende $p(x)$ hat damit nix zu tun!
> Ich sah den Wald vor lauter Bäument nicht.
> Nun denke ich hab ichs und bin nicht mehr verwirrt sondern
> viel schlauer als vorher.
>
> Vielen Dank!
Gerne
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Achso.
Und wieso ist das so? Weil da stand ja gar kein oder.
So ganz hab ich das nicht verstanden, da ich immer gelernt habe wenn ich was negiere wird es herumgedreht. Also hast dies dann was mit der Implikation zutun?
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Hach, ist das anstrengend
> Achso.
> Und wieso ist das so? Weil da stand ja gar kein oder.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> So ganz hab ich das nicht verstanden, da ich immer gelernt
> habe wenn ich was negiere wird es herumgedreht.
Die Quantoren werden "umgedreht" und die Aussage negiert.
Das muss nach den jeweiligen Regeln geschehen:
Hier ist eine Implikation zu negieren, wie das geht, habe ich hinlänglich beschrieben.
> Also hast dies dann was mit der Implikation zutun?
Was meinst du? Was hat mit der Implikation zu tun?
Nochmal:
Es gilt zunächst, eine Implikation [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ zu negieren, wobei $A$ die einfache Aussage $p(x)$ ist und $B$ eine zusammengesetzte Aussage ist [mm] $B=\neg q(x)\vee\neg [/mm] r(x)$
So ist die Grundstruktur.
Dazu kannst du $A$ abschreiben bzw. stehenlassen, den Pfeil in ein UND umwandeln und die zusammengesetzte Aussage $B$ verneinen.
Und letzteres geschieht gem. de Morgan.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Ja das habe ich alles verstanden.
Aber weil du meintest das p(x) wird dann nicht negiert obwohl ja der ganze ausdruck geklammert wird und negiert werden soll.
Also wenn ich nun keine Implikations hätte, wäre es dann genau so das p(x) so stehen bleibt oder wird es dann negiert?
Dankeschön.
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Hallo nochmal,
> Ja das habe ich alles verstanden.
> Aber weil du meintest das p(x) wird dann nicht negiert
> obwohl ja der ganze ausdruck geklammert wird und negiert
> werden soll.
Ja, das liegt daran, dass die große Klammer von der äußeren Struktur eine Implikation ist [mm](p(x)\Rightarrow \ \text{irgendwas})[/mm]
Und eine Implikation wird halt wie beschrieben negiert --> [mm]p(x) \ \wedge \neg \ \text{irgendwas}[/mm]
> Also wenn ich nun keine Implikations hätte, wäre es dann
> genau so das p(x) so stehen bleibt oder wird es dann
> negiert?
Das hängt von der Verknüpfung ab.
Hast du etwa [mm]p\wedge q[/mm], so wird das so negiert (de Morgan):
[mm]\neg(p\wedge q) \ \equiv \ \neg p\vee\neg q[/mm]
Du kannst dir ja zur Übung mal aufschreiben, wie man
[mm]p\vee q[/mm]
[mm]p\gdw q[/mm]
[mm]p\dot\vee q[/mm] "entweder oder"
negiert ...
>
> Dankeschön.
Gerne
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:34 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Ja genau das hatte ich gemeint mit der Implikation als äußere Struktur
Cool dann hab ich das verstanden, super Hilfe!
Ja ich hab gerade mal probiert zu rechnen:
$p [mm] \wedge [/mm] q$ [mm] \equiv $\neg [/mm] (p [mm] \wedge [/mm] q)$ [mm] \equiv $\neg [/mm] p [mm] \vee \neg [/mm] q$
bei äquivalenz kann man das ja wieder in zwei implikationen aufteilen und es kommt am schlusss eigentlich ein xor heraus... (wiki hat mir bissel geholfen, hatte ich nicht gewusst, aber gerechnet hab ich selber):
$p [mm] \gdw [/mm] q$ [mm] \equiv $\neg [/mm] (p [mm] \gdw [/mm] q)$ [mm] \equiv $\neg [/mm] ((p [mm] \Rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] (q [mm] \Rightarrow [/mm] p)) $ [mm] \equiv [/mm] $p [mm] \wedge \neg [/mm] q [mm] \vee [/mm] q [mm] \wedge \neg [/mm] p$ [mm] \equiv [/mm] $p [mm] \dot\vee [/mm] q$
kann das so sein?
und das untere müsste dann sein:
$p [mm] \dot\vee [/mm] q$ [mm] \equiv $\neg [/mm] (p [mm] \dot\vee [/mm] q)$ [mm] \equiv [/mm] $ [mm] \neg (\neg [/mm] p [mm] \wedge [/mm] q [mm] \vee [/mm] p [mm] \wedge \neg [/mm] q)$ [mm] \equiv [/mm] $p [mm] \vee \neg [/mm] q [mm] \wedge \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] q$
Könnte das so richtig sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 24.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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