Umformen differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 24.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch die Substitution v(x)=xy(x) die Differentialgleichung
yf(xy)+xg(xy)y'=0
in eine trennbare Differentialgleichung umgeformt wird. |
mein Lösungsansatz ist bisher, dass ich die Gleichung wahrscheinlich umformen muss, allerdings bin ich noch zu keiner form gekommen bei der das möglich ist:
ausklammern von (xy):
yf(xy) + xg(xy)y'=(xy)(yf+xgy')=0
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo konrad20,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass durch die Substitution v(x)=xy(x) die
> Differentialgleichung
>
> yf(xy)+xg(xy)y'=0
>
> in eine trennbare Differentialgleichung umgeformt wird.
> mein Lösungsansatz ist bisher, dass ich die Gleichung
> wahrscheinlich umformen muss, allerdings bin ich noch zu
> keiner form gekommen bei der das möglich ist:
>
> ausklammern von (xy):
> yf(xy) + xg(xy)y'=(xy)(yf+xgy')=0
>
Hier ist doch xy als Argument von f bzw. g zu sehen.
Dann führt die Substitution auch auf eine trennbare DGL.
>
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mo 25.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
Danke für deine Antwort!
heißt das, dass ich nun f(xy) und g(xy) mit v(x) substituieren kann, oder nur das Argument ?
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Hallo,
> Danke für deine Antwort!
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> heißt das, dass ich nun f(xy) und g(xy) mit v(x)
> substituieren kann, oder nur das Argument ?
Das Argument ...
LG
Mit $v(x)=xy=xy(x)$ ist $f(xy)=f(v(x))$ usw.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 25.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
jetzt muss ich doch noch y' mit u(x) ausdrücken...
u(x)=x*y
y=u(x)/x
[mm] y'=(u(x)-x*du)/x^2
[/mm]
stimmt das so wie ich es gemacht hab?
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Hallo konrad20,
> jetzt muss ich doch noch y' mit u(x) ausdrücken...
> u(x)=x*y
> y=u(x)/x
> [mm]y'=(u(x)-x*du)/x^2[/mm]
>
> stimmt das so wie ich es gemacht hab?
Das stimmt leider nicht.
Differenziere den Ausdruck [mm]\bruch{u\left(x\right)}{x}[/mm]
mit Hilfe der Quotientenregel.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 25.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
die ableitung von u(x)=du
die ableitung von x=1
[mm] y'(x)=((du*x)-u(x)*1)/x^2
[/mm]
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Hallo konrad20,
> die ableitung von u(x)=du
> die ableitung von x=1
>
> [mm]y'(x)=((du*x)-u(x)*1)/x^2[/mm]
>
Ach so, für die Ableitung von u schreibst Du "du",
üblicherweise schreibt man da " u' ".
Dann ist:
[mm]y'(x)=((u'\left(x\right)*x)-u(x)*1)/x^2[/mm]
Oder etwas schöner:
[mm]y'(x)=\bruch{u'\left(x\right)*x-u(x)*1}{x^2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 25.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
achso, vielen Dank, werd ich in Zukunft anders schreiben.
also ich hab jetzt:
[mm] yf(u(x))+xgu(x))*[{(u'(x)*x-u(x)}/(x^2)]=0
[/mm]
zuerst auf:
[mm] yf(x(u))*x^2=-x*{g(u(x))*u'(x)-u(x)} [/mm]
dann hätt ich mit x gekürzt und durch f(u(x)) dividiert
y*x=[g(u(x))*u'(x)*u(x)]/f(u(x))
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Hallo konrad20,
> achso, vielen Dank, werd ich in Zukunft anders schreiben.
>
> also ich hab jetzt:
> [mm]yf(u(x))+xgu(x))*[{(u'(x)*x-u(x)}/(x^2)]=0[/mm]
>
> zuerst auf:
> [mm]yf(x(u))*x^2=-x*{g(u(x))*u'(x)-u(x)}[/mm]
Das muss doch so lauten:
[mm]y* f(\ u(x) \ )*x^2=-x*g( \ u(x) \ )*\left( \ u'(x)*\red{x}-u(x) \ \right)[/mm]
Und jetzt kannst Du noch für [mm]y\left(x\right)=\bruch{u\left(x\right)}{x}[/mm] schreiben.
>
> dann hätt ich mit x gekürzt und durch f(u(x)) dividiert
>
> y*x=[g(u(x))*u'(x)*u(x)]/f(u(x))
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 25.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
oh, da hab ich das x unterschlagen...
dann hab ich jetzt da stehen:
u(x)*f(u(x))=-g(u)*(u'(x)*x-u(x))
und ausmultipliziert
u(x)*f(u(x))= - g(u(x))*u'(x)*x-g(u(x))*u(x)
reicht das jetzt einfach nach x auf zu lösen, um zu zeigen, dass es nun eine trennbare differentialgleichung ist?
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Hallo konrad20,
> oh, da hab ich das x unterschlagen...
>
> dann hab ich jetzt da stehen:
> u(x)*f(u(x))=-g(u)*(u'(x)*x-u(x))
Da ist ein "x" verlorengegangen:
[mm]\red{x}*u(x)*f(u(x))=-g(u)*(u'(x)*x-u(x))[/mm]
>
> und ausmultipliziert
>
> u(x)*f(u(x))= - g(u(x))*u'(x)*x-g(u(x))*u(x)
>
> reicht das jetzt einfach nach x auf zu lösen, um zu
> zeigen, dass es nun eine trennbare differentialgleichung
> ist?
Um zu zeigen, daß diese DGL trennbar ist,
muß die DGL in der Form
[mm]u'=h\left(u\right)*k\left(x\right)[/mm]
geschrieben werden können.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 25.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
so ich hab nun versucht, u'(x) auf eine Seite zu bringen:
zuerst *(-g(u(x)) und +u(x)
{[x*u(x)*f(u(x))]/-g(u(x))}+u(x)=u'(x)*x
und dann noch durch x dann erhalte ich einen doppelbruch bei dem ich nach dem auflösen nicht mehr weiterkomm:
[x*u(x)*f(u)+u(x)*(-g(u(x)))]/[-g(u(x))*x]
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Hallo konrad20,
> so ich hab nun versucht, u'(x) auf eine Seite zu bringen:
>
> zuerst *(-g(u(x)) und +u(x)
>
> {[x*u(x)*f(u(x))]/-g(u(x))}+u(x)=u'(x)*x
Nun, auch hier ist ein x verlorengegangen:
[mm]\bruch{x*u(x)*f(u(x))}{-g(u(x))*\red{x}}+u(x)=u'(x)*x[/mm]
>
> und dann noch durch x dann erhalte ich einen doppelbruch
> bei dem ich nach dem auflösen nicht mehr weiterkomm:
>
> [x*u(x)*f(u)+u(x)*(-g(u(x)))]/[-g(u(x))*x]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 25.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
danke für die große geduld:
also ich kann doch jetzt im bruch das x rauskürzen und hab dann:
(u+f(u))/-(g(u))+u= u'*x nun hätte ich zuerst die linke seite auf einen nenner gebracht
(u+f(u)+g(u) u)/(g(u)= u'*x
danach durch x geteilt und den doppelbruch aufgelöst:
[u*f(u)+u*-g(u)]/(g(u)*x)=u'
dann kann ich im nenner noch u ausklammern:
u*(f(u)-g(u))/(g(u)*x)
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Hallo konrad20,
> danke für die große geduld:
>
> also ich kann doch jetzt im bruch das x rauskürzen und hab
> dann:
>
> (u+f(u))/-(g(u))+u= u'*x nun hätte ich zuerst die linke
> seite auf einen nenner gebracht
>
> (u+f(u)+g(u) u)/(g(u)= u'*x
>
> danach durch x geteilt und den doppelbruch aufgelöst:
>
> [u*f(u)+u*-g(u)]/(g(u)*x)=u'
>
> dann kann ich im nenner noch u ausklammern:
>
> u*(f(u)-g(u))/(g(u)*x)
Ja, damit hast Du die gewünschte Darstellung erreicht:
[mm]u*\bruch{f(u)-g(u)}{g(u)}*\bruch{1}{x}=u'[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Mo 25.01.2010 | | Autor: | konrad20 |
vielen, vielen Dank für die Hilfe und vor allem die Geduld!
Gruß Konrad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mo 25.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es wird übersichtlicher, wenn du statt u(x) immer nur u schreibst. du schreibst ja auch y und nicht y(x)
Am besten schreibst du so um, dass da steht u'=...
Wenn du dann was in der FOrm u'=F(u)*G(x) dastehen hast, kannst du die Variablen trennen.
Gruss leduart
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