Umfang des Rechtecks maximal < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 31.10.2010 | | Autor: | myst3ry |
| Aufgabe | Die Aufgabenstellung und Skizze ist hier zu sehen:
http://img705.imageshack.us/img705/5617/unbenanntppv.png
f(x) = x³ -3x-2
Der Punkt P(u/v) liegt auf der Kurve von f(x) im 4.Quadranten. Die beiden Achsen und die Parallelen zu ihnen durch P bilden ein Rechteck. Für welches u hat dieses Rechteck maximalen Umfang? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe ersteinmal die funktion U aufgestellt:
U(u) = 2*u + 2*f(u)
dann f(u) eingesetzt und zusammengefasst sodass ich letzendlich raushatte:
U(u) = 2u³ - 4u -4
Aber ich glaube hier liegt schon der generelle Denkfehler, denn wenn ich jetzt den Hochpunkt errechne, da der Umfang ja am größten sein soll, erhalte ich für u = -Wrzl.(2/3) und das ist laut lösung falsch und auch logisch falsch, da u ja zwischen 0 und 2 liegen muss.
Kann mir jemand helfen :)
PS: im link oben ist eine Zeichnung, die hilft auf jedenfall!
liebe grüße,
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 31.10.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
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> f(x) = x³ -3x-2
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> Der Punkt P(u/v) liegt auf der Kurve von f(x) im
> 4.Quadranten. Die beiden Achsen und die Parallelen zu ihnen
> durch P bilden ein Rechteck. Für welches u hat dieses
> Rechteck maximalen Umfang?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich habe ersteinmal die funktion U aufgestellt:
>
> U(u) = 2*u + 2*f(u)
>
...
Ich weiß nicht, ob ich einen Denkfehler gemacht habe, aber:
Du berechnest hier Strecken. f(u) ist aber in dem angegebenen Bereich negativ, so dass Du bei entsprechend kleinem u einen negativen Umfang bekommst.
Ich würde an Deiner Stelle hier mit Beträgen rechnen.
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 31.10.2010 | | Autor: | myst3ry |
daran liegt es auf jedenall nicht, bekomme auch nicht was gescheites raus wenn ich die funktion an der x achse ins positive spiegle... aber im ansatz ist alles richtig? das kann eigentlich garnicht sein irgendwie, warum komm ich denn auf so nen ergebnis??
ich brech mir hier echt einen dran ab -.- das ist doch eigentlich ne easy aufgabe,oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo myst3ry!
Es liegt m.E. aber doch genau an den verkehrten Vorzeichen. Zumindest der Term $f(u)_$ muss vorzeichenmäßig umgekehrt werden.
Um für den Umfang auf jeden Fall etwas psositives zu erhalten, gilt:
$U(u) \ = \ 2*u+2*|f(u)| \ = \ [mm] 2*u+2*\left[-\left(u^3-3*u-2\right)\right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mo 01.11.2010 | | Autor: | myst3ry |
okay,
das hatte ich einfach auch schonmal auf dem blatt hier vor mir ausprobiert gestern aber da käme dann als Ableitung raus:
U' = -6u² + 8
U'' = -12u
U' != 0 => u = +-Wurzel(4/3)
das heißt die Lösung für u wäre Wurzel(4/3)
Die Lösung laut Lösungsbuch ist aber: 0,5 + 0,5 * Wurzel(3)
stimmt hier die Musterlösung nicht? oder ist das ergebnis von mir soweit richtig?
Danke in jedem Fall für eure Hilfe bis hierher
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Hallo,
ich erhalte ebenso [mm] u_1_2=\pm\wurzel{\bruch{4}{3}}
[/mm]
da P im 4. Quadranten liegt, ist [mm] u=\wurzel{\bruch{4}{3}}
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Pappus |
> okay,
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> das hatte ich einfach auch schonmal auf dem blatt hier vor
> mir ausprobiert gestern aber da käme dann als Ableitung
> raus:
> U' = -6u² + 8
> U'' = -12u
>
> U' != 0 => u = +-Wurzel(4/3)
>
> das heißt die Lösung für u wäre Wurzel(4/3)
>
> Die Lösung laut Lösungsbuch ist aber: 0,5 + 0,5 *
> Wurzel(3)
>
> stimmt hier die Musterlösung nicht? oder ist das ergebnis
> von mir soweit richtig?
>
> Danke in jedem Fall für eure Hilfe bis hierher
Guten Tag!
Ich habe den Funktionsgraphen und das Rechteck mit DynaGeo gezeichnet und den Umfang berechnen lassen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Maximum des Umfangs ergibt sich bei $u [mm] \approx [/mm] 1,141$ was im Rahmen der Zeichengenauigkeit ziemlich gut den Wert [mm] $\wurzel{\frac43}$ [/mm] representiert.
[mm] $\frac12+\frac12 \cdot \wurzel{3}\approx [/mm] 1,366$ ist mit Sicherheit zu groß.
Ich vermute einen fetten Fehler im Lösungsteil Deines Buches.
Salve
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo, ich habe mal meine Vermutung durchgerechnet, für [mm] u=0,5+0,5*\wurzel{3} [/mm] wir die Fläche maximal, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Di 02.11.2010 | | Autor: | myst3ry |
ja, so ist es!
ansonsten käme Wurzel(4/3) heraus, dann ist der Umfang kleiner als bei der Musterlösung.
aber wie kommt man darauf? eigentlich haben wir doch alles richtig gemacht, oder nicht??
hilfe, ich bekomme das Problem auch am 3. Tag nicht in den Griff
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Hallo, wenn du jetzt die maximale Fläche meinst, so gilt
A(u)=u*|f(u)|
[mm] A(u)=x*[-(x^{3}-3x-2)]
[/mm]
[mm] A(u)=x*[-x^{3}+3x+2]
[/mm]
[mm] A(u)=-x^{4}+3x^{2}+2x
[/mm]
[mm] A'(x)=-4x^{3}+6x+2
[/mm]
[mm] 0=-4x^{3}+6x+2
[/mm]
Steffi
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