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Ultrafilter: Ultrafilter <=> maximal
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:40 Fr 22.04.2011
Autor: algieba

Aufgabe 1
Sei I eine Menge und [mm] $F\subset \mathcal{P}(I)$ [/mm] (Potenzmenge)

F ist ein Ultrafilter [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] F ist maximaler Filter

Aufgabe 2
Wenn F Ultrafilter ist, dann gilt: [mm] $A\cup [/mm] B [mm] \in [/mm] F [mm] \Rightarrow A\in [/mm] F$ oder [mm] $B\in [/mm] F$

Hi

Zur Erinnerung:
F ist ein Filter auf I gdw. :
1) [mm] $\emptyset \notin [/mm] F$
2) wenn $X,Y [mm] \in [/mm] F$ dann auch [mm] $X\cap [/mm] Y [mm] \in [/mm] F$
3) wenn [mm] $X\in [/mm] F$ und [mm] $Y\supseteq [/mm] X$ dann ist [mm] $Y\in [/mm] F$

F ist Ultrafilter gdw. :
1) Für alle $X [mm] \subseteq [/mm] I$ ist entweder $X$ oder [mm] $I\backslash [/mm] X$ in F


Mir fehlt leider bei beiden Aufgaben der Ansatz. Könnte mir da jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank



        
Bezug
Ultrafilter: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Mi 27.04.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Ultrafilter: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:34 Do 28.04.2011
Autor: algieba

Aufgabe
Sei S eine Menge und [mm] $\mathcal{D}\subset \mathcal{P}(I)$ [/mm] (Potenzmenge)

[mm] $\mathcal{D}$ [/mm] ist ein Ultrafilter [mm] $\Leftrightarrow$ $\mathcal{D}$ [/mm] ist maximaler Filter

Hi

Ich habe jetzt doch Lösungen gefunden, vielleicht könnte da mal jemand drübergucken und eventuelle Fehler aufdecken?
Ich mache für jede Aufgabe eine eigene Frage damit sie einzeln überprüft werden können!

[mm] "$\Rightarrow$" [/mm]
[mm] $\mathcal{D}$ [/mm] ist Ultrafilter, und sei [mm] $A\subseteq [/mm] S$ und OE [mm] $A\in \mathcal{D}$. [/mm]
Sei [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ein Filter mit [mm] $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$ [/mm]
Wir nehmen an, dass [mm] $\mathcal{E} \backslash \mathcal{D} \neq \emptyset$, [/mm] und $B [mm] \in \mathcal{E} \backslash \mathcal{D}$. [/mm]
Da [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] Filter und $A,B [mm] \in \mathcal{E}$ [/mm] muss gelten: [mm] $A\cap [/mm] B [mm] \in \mathcal{E}$, [/mm] aber [mm] $A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] (Widerspruch dazu, dass die leere Menge nicht in einem Filter enthalten sein darf)
[mm] $\Rightarrow \mathcal{E} \backslash \mathcal{D} [/mm]  = [mm] \emptyset$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \mathcal{E} [/mm] = [mm] \mathcal{D}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \mathcal{D}$ [/mm] maximal


[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] will ich hier nicht zeigen, da ich das in einem Buch gefunden habe, müsste also richtig sein


Vielen Dank


Bezug
                
Bezug
Ultrafilter: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 So 01.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Ultrafilter: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:44 Do 28.04.2011
Autor: algieba

Aufgabe
Wenn [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] Ultrafilter ist, dann gilt: [mm] $A\cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{D} \Rightarrow A\in \mathcal{D}$ [/mm] oder [mm] $B\in \mathcal{D}$ [/mm]

Es gilt [mm] $A\cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{D}$ [/mm]
Sei OE $A [mm] \notin \mathcal{D}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow S\backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{D}$ [/mm]
Da [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] Filter muss gelten:
[mm] $(S\backslash [/mm] A) [mm] \cap (A\cup [/mm] B) = B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{D}$ [/mm]
Da $(B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \subset [/mm] B$ folgt $B [mm] \in \mathcal{D}$ [/mm]

Jetzt bin ich mir nicht sicher ob ich noch zeigen muss, dass auch beide (also A UND B) in $ [mm] \mathcal{D}$ [/mm] enthalten sein können. Das wäre nicht sehr schwer, aber ist das überhaupt nötig?

Vielen Dank

Bezug
                
Bezug
Ultrafilter: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 So 01.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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