#UVR über Körper mit p Element < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:31 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | Sei [mm] \IF_{2}^3 [/mm] ein endlicher Zahlenkörper.
1) Wie viele Elemente besitzt [mm] \IF_{2}^3?
[/mm]
2) Wie viele UVR besitzt [mm] \IF_{2}^3?
[/mm]
a) Wie viele 1-dimensionale UVR besitzt er ?
b) Wie viele 2-dim. UVR? |
Hallo zusammen!
Ich habe versucht die Aufgabe "zeichnerisch" zu lösen, d.h. ich habe mir das Ganze als Würfel vorgestellt.
zu 1) Ich habe [mm] 2^3 [/mm] = 8 Elemente für [mm] \IF_{2}^3 [/mm] gefunden.
Also [mm] p^n [/mm] ( wobei p: Primzahl ist und n=dim [mm] \IF_{2}^3)
[/mm]
zu 2) Es gibt erstmal die beiden trivialen UVR {0} und [mm] V=\IF_{2}^3.
[/mm]
Außerdem habe ich 7 1-dim. UVR gefunden und 6 2-dim. UVR.
Meine Fragen:
1. Stimmt die Anzahl der UVR, die ich gefunden habe oder habe ich UVR vergessen/zu viel gezählt?
2. Ich habe die Aufgabe versucht "zeicherisch" zu lösen, was doch sehr lange dauert [in meiner mündl. Prüfung kann ich ja schlecht anfangen zu malen und die Hälfte der Zeit mit Eben zeichen verbringen ;) ]
Deswegen: Gibt es eine Möglichkeit die 1-dim. und 2-dim. UVR schneller zu bestimmen? Gibt es evtl. so etwas wie eine "Formel", mit der sich die Anzahl bestimmen lässt?
Für die 1-dim. UVR habe ich mir überlegt: [mm] p^n [/mm] - 1 ( da ja der Nullvektor kein 1-dim. UVR ist). Stimmt das?
Vielen Dank schon mal im Voraus für die Hilfe.:)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Mo 03.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\IF_{2}^3[/mm] ein endlicher Zahlenkörper.
>
> 1) Wie viele Elemente besitzt [mm]\IF_{2}^3?[/mm]
>
> 2) Wie viele UVR besitzt [mm]\IF_{2}^3?[/mm]
> a) Wie viele 1-dimensionale UVR besitzt er ?
> b) Wie viele 2-dim. UVR?
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe versucht die Aufgabe "zeichnerisch" zu lösen,
> d.h. ich habe mir das Ganze als Würfel vorgestellt.
Gute Idee.
> zu 1) Ich habe [mm]2^3[/mm] = 8 Elemente für [mm]\IF_{2}^3[/mm] gefunden.
> Also [mm]p^n[/mm] ( wobei p: Primzahl ist und n=dim
> [mm]\IF_{2}^3)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu 2) Es gibt erstmal die beiden trivialen UVR {0} und
> [mm]V=\IF_{2}^3.[/mm]
> Außerdem habe ich 7 1-dim. UVR gefunden und 6
> 2-dim. UVR.
Ich komme auf 7 ein-dimensionale und 7 zwei-dimensionale UVR.
> Meine Fragen:
> 1. Stimmt die Anzahl der UVR, die ich gefunden habe oder
> habe ich UVR vergessen/zu viel gezählt?
Nicht ganz, siehe oben.
> 2. Ich habe die Aufgabe versucht "zeicherisch" zu lösen,
> was doch sehr lange dauert [in meiner mündl. Prüfung kann
> ich ja schlecht anfangen zu malen und die Hälfte der Zeit
> mit Eben zeichen verbringen ;) ]
>
> Deswegen: Gibt es eine Möglichkeit die 1-dim. und 2-dim.
> UVR schneller zu bestimmen? Gibt es evtl. so etwas wie eine
> "Formel", mit der sich die Anzahl bestimmen lässt?
Ja, es gibt eine Formel dazu.
Dazu erstmal eine allgemeinere Formel: die Anzahl der Tupel von $k$ Vektoren in einem $n$-dimensionalen Vektorraum ueber einem Koerper mit $q$ Elementen, wobei alle Elemente im Tupel linear unabhaengig sein sollen, ist $f(q, n, k) := [mm] \prod_{i=1}^k (q^n [/mm] - [mm] q^{n-i})$.
[/mm]
Es gibt also $f(2, 3, 2)$ Tupel mit zwei linear unabhaengigen Vektoren im [mm] $\IF_2^3$. [/mm] Jedes solche Tupel ist die Basis von einem zweidimensionalen UVR. Allerdings liefern mehrere dieser Basen den gleichen UVR. Du musst also schauen, wieviele Basen zum gleichen UVR gehoeren.
Dies ist jedoch gleich der Anzahl der invertierbaren $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen ueber [mm] $\IF_2$, [/mm] und diese Anzahl ist gleich $f(2, 2, 2)$, da diese gerade 2-Tupel von Vektoren aus dem [mm] $\IF_2^2$ [/mm] sind, die linear unabhaengig sind.
Damit ist die Gesamtanzahl der zwei-dim. UVR von [mm] $\IF_2^3$ [/mm] gleich $f(2, 3, 2) / f(2, 2, 2)$.
> Für die 1-dim. UVR habe ich mir überlegt: [mm]p^n[/mm] - 1 ( da ja
> der Nullvektor kein 1-dim. UVR ist). Stimmt das?
Fast: fuer $p = 2$ stimmt es. Fuer $p > 2$ nicht, da je zwei solche Vektoren den gleichen UVR erzeugen, wenn sie ein Vielfaches [mm] ($\neq [/mm] 0$) von einander sind. Du musst die Anzahl [mm] $p^n [/mm] - 1$ der Vektoren [mm] $\neq [/mm] 0$ also durch die Anzahl der Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ teilen, also durch $p - 1$.
Die Anzahl ist dann gleich $f(p, n, 1) / f(p, 1, 1) = (p^ - 1) / (p - 1)$.
LG Felix
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