UVR des R2 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mi 12.05.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | | Beh.: U= [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2} \in \IR^2: x_1^2+x_2^2 \le1 \} [/mm] ist kein UVR des [mm] \IR^2. [/mm] |
Hallo.
Ich hätte das so gezeigt:
Wähle [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] und [mm] \vektor{x_1' \\ x_2'} \in [/mm] U.
Dann müsste gelten, wenn U ein UVR wäre, dass [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}+\vektor{x_1' \\ x_2'} \in [/mm] U wäre.
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2} \in [/mm] U bedeutet [mm] x_1^2+x_2^2 \le [/mm] 1 und [mm] \vektor{x_1' \\ x_2'} \in [/mm] U bedeutet [mm] x_1'^2+x_2'^2 \le [/mm] 1. Da sich bei der Addition der beiden Ungleichungen ergibt:
[mm] (x_1^2+x_2^2)+(x_1'^2+x_2'^2) \le [/mm] 2, kann [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}+\vektor{x_1' \\ x_2'} [/mm] nicht aus U sein, was der Definition eines UVR widerspricht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast schon die richtige Idee !
Aber wenn $ [mm] (x_1^2+x_2^2)+(x_1'^2+x_2'^2) \le [/mm] $ 2 kann durchaus $ [mm] (x_1^2+x_2^2)+(x_1'^2+x_2'^2) \le [/mm] $ 1 gelten (Beispiel: [mm] x_1=x_2=x_1'=x_2'=0)
[/mm]
Nimm doch konkrete Paare aus U !
z.B: (1,0) und (1/2, 0) . Beide sind in U, deren Summe aber nicht.
FRED
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