UVR des K < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei K ein Körper, [mm] u_0 \in [/mm] K°n und U ein Untervektorraum des [mm] K^n. [/mm] Man zeige, dass es eine Matrix Aßin [mm] K^{nxn} [/mm] und einen (Spalten)Vektor b ßin [mm] K^n [/mm] gibt, so dass das lineare Gleichungssystem Ax=b die genaue Lösungsmenge [mm] u_0+U\subsetK^n [/mm] besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe ist für mich besonders schwer, zumal ich keinen richtigen Anhaltspunkt habe.
Kann mir jemand vielleicht sagen was zu tun ist, denn mir fällt es erstmal schwer diese Aufgabe zu verstehen, was eigentlich gesucht ist.
Viele Grüße
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> Sei K ein Körper, [mm]u_0 \in[/mm] K°n und U ein Untervektorraum des
> [mm]K^n.[/mm] Man zeige, dass es eine Matrix Aßin [mm]K^{nxn}[/mm] und einen
> (Spalten)Vektor b ßin [mm]K^n[/mm] gibt, so dass das lineare
> Gleichungssystem Ax=b die genaue Lösungsmenge
> [mm]u_0+U\subsetK^n[/mm] besitzt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Die Aufgabe ist für mich besonders schwer, zumal ich keinen
> richtigen Anhaltspunkt habe.
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> Kann mir jemand vielleicht sagen was zu tun ist, denn mir
> fällt es erstmal schwer diese Aufgabe zu verstehen, was
> eigentlich gesucht ist.
Hallo,
mir hilft es immer solche Aufgaben zu verstehen, wenn ich mit mal ein Beispiel mache.
Ich nehme [mm] K:=\IR, [/mm] n=3, [mm] K^3=\IR^3.
[/mm]
Dann braucht man irgendeinen Vektor [mm] u_0\in \IR^3, [/mm] ich nehme [mm] u_o:=\vektor{1\\2\\3},
[/mm]
und einen Unterraum vom [mm] \IR^3, [/mm] da nehme ich [mm] U:=<\vektor{ 5\\6\\7}, \vektor{8\\9\\10}>.
[/mm]
Die Behauptung: man findet einen vektor [mm] b:=\vektor{b_1\\b_2\\b_3} [/mm] und eine Matrix [mm] A:=(a_i_j)_{1\le i,j\le 3} [/mm] so,
daß die Lösungsmenge von Ax=b, also die Lösung des Gleichungssystems
[mm] a_1_1x_1+a_1_2x_2+a_1_3x_3=b_1
[/mm]
[mm] a_2_1x_1+a_2_2x_2+a_2_3x_3=b_2
[/mm]
[mm] a_3_1x_1+a_3_2x_2+a_3_3x_3=b_3,
[/mm]
gerade
[mm] \IL=\vektor{1\\2\\3}+<\vektor{ 5\\6\\7}, \vektor{8\\9\\10}> [/mm] ist,
daß also jeder Vektor der Gestalt [mm] \vektor{1\\2\\3}+\lambda\vektor{ 5\\6\\7}+\nu \vektor{8\\9\\10} [/mm] das System löst.
Ich würde jetzt mal dahergehen und eine Lösung dieses konkreten Problems suchen, vielleicht fällt Dir das andere dann nicht mehr so schwer.
Hilfreich ist es sicher, wenn man sich klarmacht, daß hier ein inhomogenes Lineare Gleichungssystem zu einer vorgegebenen Lösungsmenge gesucht wird, und wenn man weiß, daß sich die Lösung eines inhomogenen Systems zusammensetzt aus eine speziellen Lösung und der Lösung des zugehörigen homogenen Systems.
Gruß v. Angela
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