UVR / Lgs < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:22 Fr 31.03.2017 | | Autor: | James90 |
Hi!
Warum sind die folgenden Mengen ein Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] über dem Körper [mm] \IR?
[/mm]
a) [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid\exist\lambda,\mu\in\IR:\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{2 \\ 3\\2}+\lambda\vektor{2 \\ 1\\0}+\mu\vektor{0 \\ 1\\1}\}
[/mm]
b) [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid x_1+3x_2-2x_3=0\wedge -2x_1+x_2=0\}
[/mm]
Bei a) steht als Lösung, dass das gilt, weil die Menge den Nullvektor enthält. Diese Idee verstehe ich nicht. Ja, für [mm] \lambda=-1 [/mm] und [mm] \mu=-2 [/mm] erhalten wir das gewünschte, aber wieso ist die Menge nur deshalb ein Untervektorraum?
Bei b) steht als Lösung, dass das gilt, weil es die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist. Diese Idee verstehe ich auch nicht. Ja, das LGS ist homogen und der Nullvektor ist damit eine Lösung, aber auch hier fehlt mir wohl die gleiche Begründung, die ich bei a) brauche.
Vielen Dank!
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> Hi!
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> Warum sind die folgenden Mengen ein Untervektorraum des
> [mm]\IR^3[/mm] über dem Körper [mm]\IR?[/mm]
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> a) [mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid\exist\lambda,\mu\in\IR:\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{2 \\ 3\\2}+\lambda\vektor{2 \\ 1\\0}+\mu\vektor{0 \\ 1\\1}\}[/mm]
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> b) [mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid x_1+3x_2-2x_3=0\wedge -2x_1+x_2=0\}[/mm]
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> Bei a) steht als Lösung, dass das gilt, weil die Menge den
> Nullvektor enthält. Diese Idee verstehe ich nicht. Ja,
> für [mm]\lambda=-1[/mm] und [mm]\mu=-2[/mm] erhalten wir das gewünschte,
> aber wieso ist die Menge nur deshalb ein Untervektorraum?
Hallo,
das alleine reicht wirklich nicht aus, um zu entscheiden, ob eine Menge ein UVR eines Vektorraumes ist.
Um auf "UVR" zu prüfen, stehen Dir ja die UVR-Kriterien zur Verfügung. Damit kannst Du die Aufgabe auf jeden Fall bewältigen - und Du solltest das auch mal versuchen.
Die Dir vorliegenden Lösung stelle ich mir so vor:
ich denke, in der Vorlesung wurde notiert, daß der von n Vektoren eines Vektorraumes V aufgespannte Raum ein UVR von V ist.
Da der Nullvektor in Deiner Menge liegt, ist
[mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid\exist\lambda,\mu\in\IR:\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{2 \\ 3\\2}+\lambda\vektor{2 \\ 1\\0}+\mu\vektor{0 \\ 1\\1}\}[/mm][mm] =<\vektor{2 \\ 1\\0},\vektor{0 \\ 1\\1}>.
[/mm]
(Die spitzen Klammern stehen hier für den Span/lineare Hülle/aufgespannten Raum, also für [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid\exist\lambda,\mu\in\IR:\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\lambda\vektor{2 \\ 1\\0}+\mu\vektor{0 \\ 1\\1}\})
[/mm]
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> Bei b) steht als Lösung, dass das gilt, weil es die
> Lösungsmenge eines homogenen LGS ist. Diese Idee verstehe
> ich auch nicht. Ja, das LGS ist homogen und der Nullvektor
> ist damit eine Lösung, aber auch hier fehlt mir wohl die
> gleiche Begründung, die ich bei a) brauche.
Auch hier stelle ich es mir so vor, daß in der Vorlesung bereits besprochen wurde, daß Lösungsmengen von homogenen LGSen Untervektorräume sind.
Aber auch hier kannst Du mithilfe der Unterraumkriterien die UVR-Eigenschaft zeigen, und auch hier ist es kein Fehler, das mal getan zu haben.
Du kannst aber auch das LGS lösen. Du stellst fest:
[mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid x_1+3x_2-2x_3=0\wedge -2x_1+x_2=0\}[/mm][mm] =<\vektor{2\\4\\7}>,
[/mm]
und damit eine UVR, weil es ja die lineare Hülle eines Vektors ist.
LG Angela
>
> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:49 Fr 31.03.2017 | | Autor: | James90 |
Danke! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Fr 31.03.2017 | | Autor: | fred97 |
Hallo James,
wenn ich mir die Lösungen anschaue kommt mir der Verdacht, dass Du ,was den VorlesungStoff angeht, nicht auf dem Laufenden bist.
die lösung von a) -kommt wahrscheinlich so zustande :
sei E eine Ebene im [mm] \IR^2. [/mm] Dann gilt:
E ist ein Untervektorraum [mm] \gdw [/mm] E enthält den Nullvektor.
zu b):
da habt Ihr wahrscheinlich gelernt: die Lösungsmenge eines LG S ist ein Vektorraum.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Fr 31.03.2017 | | Autor: | James90 |
Hi Fred!
> wenn ich mir die Lösungen anschaue kommt mir der
> Verdacht, dass Du ,was den VorlesungStoff angeht, nicht
> auf dem Laufenden bist.
Ich gehe zur Zeit Altklausuren durch, die nicht unbedingt von meinem Professor sind, so dass wir das eine oder andere Thema weniger behandelt haben.
> die lösung von a) -kommt wahrscheinlich so zustande :
>
> sei E eine Ebene im [mm]\IR^2.[/mm] Dann gilt:
>
> E ist ein Untervektorraum [mm]\gdw[/mm] E enthält den Nullvektor.
Sind wir bei a) nicht im [mm] /IR^3?
[/mm]
> zu b):
>
> da habt Ihr wahrscheinlich gelernt: die Lösungsmenge
> eines LG S ist ein Vektorraum.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:49 Sa 01.04.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred!
>
> > wenn ich mir die Lösungen anschaue kommt mir der
> > Verdacht, dass Du ,was den VorlesungStoff angeht, nicht
> > auf dem Laufenden bist.
>
> Ich gehe zur Zeit Altklausuren durch, die nicht unbedingt
> von meinem Professor sind, so dass wir das eine oder andere
> Thema weniger behandelt haben.
>
> > die lösung von a) -kommt wahrscheinlich so zustande :
> >
> > sei E eine Ebene im [mm]\IR^2.[/mm] Dann gilt:
> >
> > E ist ein Untervektorraum [mm]\gdw[/mm] E enthält den Nullvektor.
>
> Sind wir bei a) nicht im [mm]/IR^3?[/mm]
klar, da hab ich mich verschrieben
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> > zu b):
> >
> > da habt Ihr wahrscheinlich gelernt: die Lösungsmenge
> > eines LG S ist ein Vektorraum.
>
> Vielen Dank!
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