UVR: Basis von Kern, Sa und Za < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Sa 12.03.2011 | | Autor: | karimb |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
Aufgabe T6.6: Berechnen Sie den Rang sowie je eine Basis von Kern, Spalten- und Zeilenraum
der folgenden Matrizen:
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & -2 & 1 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 }
[/mm]
C = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 2 & 3 }
[/mm]
Ich hab etwas nicht verstanden bei einer Aufgabe und zwar die Basis von Kern A und C, vom Spalten.- und Zeilenraum von A und C.
Warum die Basis von Kern A und Kern C = {0}
Warum Za= R3 = Lin{(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)} [bei mir war es: Lin{(1,1,1) , (0,-1,1) , (0,0,-9)} also die Nicht-Null-Zeilen nach der ZSF] und Zc = Lin{(1,0) , (0,1) } [bei mir: Lin{(1,2) , (0,-1) }]
Warum Sa= R3 = Lin{(1,0,0)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T} [bei mir: Lin{ (1,0,0)T , (1,-1,0)} also zwei lin. unabhän. Vektoren von A]
Vielen dank im Voraus!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Sa 12.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo karimb,
poste bitte deinen Lösungsweg, damit wir nach Fehlern suchen können. Irgendwie musst du ja auf deine Ergebnisse gekommen sein.
LG
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Hallo,
[mm] \qquad [/mm] ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hi,
> Aufgabe T6.6: Berechnen Sie den Rang sowie je eine Basis
> von Kern, Spalten- und Zeilenraum
> der folgenden Matrizen:
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & -2 & 1 }[/mm]
> B =
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 }[/mm]
> C = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 2 & 3 }[/mm]
>
> Ich hab etwas nicht verstanden bei einer Aufgabe und zwar
> die Basis von Kern A und C, vom Spalten.- und Zeilenraum
> von A und C.
> Warum die Basis von Kern A und Kern C = {0}
Achtung: Die Basis ist leer. Kern A und Kern C enthalten aber trotzdem den Nullvektor.
Warum enthalten sie nur den Nullvektor? Weil außer dem Nullvektor keine Vektoren auf 0 abgebildet werden.
> Warum Za= R3 = Lin{(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)} [bei mir
> war es: Lin{(1,1,1) , (0,-1,1) , (0,0,-9)} also die
> Nicht-Null-Zeilen nach der ZSF]
Damit hast du auch festgestellt, dass der Zeilenraum mit dem [mm] \IR^3 [/mm] übereinstimmt. Auch die von dir angegebenen Vektoren bilden eine Basis des [mm] \IR^3. [/mm] Die Basis des Lösungsvorschlags ist lediglich die Standardbasis des [mm] \IR^3. [/mm] Beide angegebenen Basen sind richtig.
> und Zc = Lin{(1,0) , (0,1)
> } [bei mir: Lin{(1,2) , (0,-1) }]
Hier das gleiche. Beides sind Basen für den gleichen Raum [mm] \IR^2. [/mm] Also beide richtig.
> Warum Sa= R3 = Lin{(1,0,0)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T} [bei
> mir: Lin{ (1,0,0)T , (1,-1,0)} also zwei lin. unabhän.
> Vektoren von A]
Hier scheinst du dich verrechnet zu haben.
Dimension von Spalten- und Zeilenraum sind gleich, daher ist auch der Spaltenraum von A der [mm] \IR^3. [/mm] Davon ist die Standardbasis wieder eine Basis. Du musst hier eigentlich gar nicht rechnen, wenn du weißt, dass die Dimension 3 ist. Da kommt nur der [mm] \IR^3 [/mm] in Frage.
>
> Vielen dank im Voraus!!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Sa 12.03.2011 | | Autor: | karimb |
Warum Sa= R3 = Lin{(1,0,0)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T} [bei
> > mir: Lin{ (1,0,0)T , (1,-1,0)} also zwei lin. unabhän.
> > Vektoren von A]
> Hier scheinst du dich verrechnet zu haben.
> Dimension von Spalten- und Zeilenraum sind gleich, daher
> ist auch der Spaltenraum von A der [mm]\IR^3.[/mm] Davon ist die
> Standardbasis wieder eine Basis. Du musst hier eigentlich
> gar nicht rechnen, wenn du weißt, dass die Dimension 3
> ist. Da kommt nur der [mm]\IR^3[/mm] in Frage.
> >
Also hier wären Sa= Lin{(1,2,4),(1,1,-2),(1,3,1)} oder Sa = Lin{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-9)} auch richtig?
Danke 
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Hallo karimb,
> Warum Sa= R3 = Lin{(1,0,0)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T} [bei
> > > mir: Lin{ (1,0,0)T , (1,-1,0)} also zwei lin. unabhän.
> > > Vektoren von A]
> > Hier scheinst du dich verrechnet zu haben.
> > Dimension von Spalten- und Zeilenraum sind gleich,
> daher
> > ist auch der Spaltenraum von A der [mm]\IR^3.[/mm] Davon ist die
> > Standardbasis wieder eine Basis. Du musst hier eigentlich
> > gar nicht rechnen, wenn du weißt, dass die Dimension 3
> > ist. Da kommt nur der [mm]\IR^3[/mm] in Frage.
> > >
> Also hier wären Sa= Lin{(1,2,4),(1,1,-2),(1,3,1)} oder Sa
> = Lin{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-9)} auch richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 So 13.03.2011 | | Autor: | karimb |
danke :)
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