UVR - Quadrat. Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V := {A [mm] \in\ \IR^{n x n} [/mm] : [mm] A^{T} [/mm] = A}
a) Zeige das V ein Untervektorraum von [mm] \IR^{n x n } [/mm] ist.
b) Bestimme die Dimension von V. |
Hallo ihr Lieben,
ich komme nicht ganz voran bei dieser Aufgabe.
Zu b): Ist die Dimension von V nicht einfach: n * n = [mm] n^2 [/mm] ?
zu a): Es ist klar was ich zeigen muss (die UVR Axiome), allerdings habe ich Probleme allgemein an diese Sache heran zu gehen. Ich habe viele Matrizen im Kopf die gleichzeitig ihre transponierten Matrizen sind, aber Beispiele darf ich ja nicht angeben. Wie kann ich das allgemein formulieren?
Also, beispielsweise, dass für zwei Matrizen A und B in V gilt, dass A + B wieder in V liegt, wie kann ich dies allgemein formulieren?
Liebe Grüße,
euer Roughi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Also, beispielsweise, dass für zwei Matrizen A und B in V gilt, dass A + B wieder in V liegt, wie kann ich dies allgemein formulieren?
Was ist [mm] $(A+B)^t$?
[/mm]
> Zu b): Ist die Dimension von V nicht einfach: n * n = $ [mm] n^2 [/mm] $ ?
Nein.
Wie könnte eine Basis von V aussehen?
Nehmen wir mal den [mm] $\IR^{2\times 2}$. [/mm] Was ist eine Ansammlung von möglichst einfachen symmetrischen [mm] $2\times [/mm] 2$ Matrizen, so daß man jede symmetrische Matrix mit Linearkombinationen zusammenbasteln kann.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Do 08.12.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Der erste Hinweis ist überragend. Vielen Dank.
Zur b) habe ich gemerkt, dass ich die Dimension in Bezug zu Matrizen auffrischen muss. Ich melde mich wenn ich soweit bin.
Vielen lieben Dank.
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Ehm, dazu, dass der Vektorraum (UVR) nicht die leere Menge ist, gibt es eine 1x1 Matrix? Wäre dann ja auch quadratisch?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
> Ehm, dazu, dass der Vektorraum (UVR) nicht die leere Menge ist, gibt es eine 1x1 Matrix? Wäre dann ja auch quadratisch?!
Du meinst für den Spezialfall n=1?
[mm] $\IR^{1\times 1}=\IR$.
[/mm]
[mm] $V=\IR$, [/mm] weil jede reelle Zahl symmetrisch ist: [mm] $2^t=2$
[/mm]
ciao
Stefan
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Also ich hab jetzt zu a)
UV2 a): Additionen zweier Elemente aus V ist wieder in V:
Seien also die Matrizen A und B [mm] \in [/mm] V und definiere die Matrix C als C:= A+B
=> C = A + B = [mm] A^T [/mm] + [mm] B^T [/mm] = ( A + B [mm] )^T [/mm] = [mm] C^T
[/mm]
also C = [mm] C^T [/mm]
Da in unserem Skript nirgends steht, dass [mm] A^T [/mm] + [mm] B^T [/mm] = ( A + B [mm] )^T [/mm] gilt, hierzu noch der Beweis:
Sei A= [mm] a_{ij} [/mm] und [mm] B=b_{ij} [/mm] dann gilt:
( A + B [mm] )^T [/mm] = [mm] (a_{ij} [/mm] + [mm] b_{ij})^T [/mm] = [mm] a_{ji} [/mm] + [mm] b_{ji}= (a_{ij}^T [/mm] + [mm] b_{ij}^T)=(A^T [/mm] + [mm] B^T).
[/mm]
UV2 b): Sei [mm] \lambda \in [/mm] K und A eine Matrix [mm] \in [/mm] V
Betrachte [mm] \lambda [/mm] * A. Nun ja, dass [mm] \lambda [/mm] * A [mm] \in [/mm] V liegt ist doch eigentlich recht offensichtlich. [mm] \lambda [/mm] wird mit jedem Koeffizient von A multipliziert und ändert somit nicht die Eigenschaften von A, lediglich nur die Werte der einzelnen Koeffizienten. Keine Ahnung wie ich das sauber ausformuliert schreiben kann:(.
UV1: [mm] V\not= \emptyset
[/mm]
Nun ja, auch hier hab ich Probleme. Ich darf kein Beispiel angeben laut einem früheren Zettel, wo ich dies falsch hatte.
Wie kann ich dann zeigen, dass [mm] V\not= \emptyset? [/mm] Ich meine es ist offensichtlich das zich Matrizen drin liegen...
Wie ich denke ist es hilfreich wieder ein Nullelement zu betrachten. Eventuell die Nullmatrix für [mm] K^{1 x 1}. [/mm] Da K ein Körper sein muss existiert für die Addition eben dieses Nullelement und da für [mm] K^{1 x 1}= [/mm] K gilt, nehme ich mir einfach die 0. Jede Zahl ist symmetrisch und es gilt [mm] 0^T= [/mm] 0, was UV1 beweisen würde.
Zum Aufgabenteil b):
Ich weiß jetzt schon einmal wie man die Dimension des Untervektorraums bestimmt. Aber das ist eine Menge Arbeit, kann das sein? Aber, Faulheit wird bestraft, deshalb:
Für 2x2 Matrizen mit [mm] A=A^T [/mm] fallen mir folgende 3 Matrizen ein:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
Müssen hierbei die Matrizen linear unabhängig sein oder nur die einzelnen Vektoren? Ersteres macht mehr Sinn denke ich. Muss ich expliziert die lineare Unabhängigkeit dieser zeigen? Ja oder?
Auf meinem Schmierpapier steht jetzt, dass es für 3 x 3 Matrizen mit den gewünschten Eigenschaften 6 Matrizen gibt, die lin. unabhängig sind. Also
dim V (für n = 1) = 1
dim V (für n = 2) = 3
dim V (für n = 3) = 6
dann müsste für
dim V (für n = 4) = 10 gelten oder?
Für sowas hatten wir eine Formel (rechts die..)
dim V = n+ [mm] \frac{n^2-n}{2}
[/mm]
Ich denke mal, dass dies stimmt. Aber jetzt hab ich noch ein wenig Angst, die lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Von mir aus für 2 x 2 Matrizen oder 3 x 3 noch wenn nötig, aber das allgemein zu zeigen ist bestimmt nicht leicht oder?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich hab jetzt zu a)
>
> UV2 a): Additionen zweier Elemente aus V ist wieder in V:
>
> Seien also die Matrizen A und B [mm]\in[/mm] V und definiere die
> Matrix C als C:= A+B
>
> => C = A + B = [mm]A^T[/mm] + [mm]B^T[/mm] = ( A + B [mm])^T[/mm] = [mm]C^T[/mm]
> also C = [mm]C^T[/mm]
>
> Da in unserem Skript nirgends steht, dass [mm]A^T[/mm] + [mm]B^T[/mm] = ( A +
> B [mm])^T[/mm] gilt, hierzu noch der Beweis:
> Sei A= [mm]a_{ij}[/mm] und [mm]B=b_{ij}[/mm] dann gilt:
> ( A + B [mm])^T[/mm] = [mm](a_{ij}[/mm] + [mm]b_{ij})^T[/mm] = [mm]a_{ji}[/mm] + [mm]b_{ji}= (a_{ij}^T[/mm]
> + [mm]b_{ij}^T)=(A^T[/mm] + [mm]B^T).[/mm]
O.K.
>
> UV2 b): Sei [mm]\lambda \in[/mm] K und A eine Matrix [mm]\in[/mm] V
>
> Betrachte [mm]\lambda[/mm] * A. Nun ja, dass [mm]\lambda[/mm] * A [mm]\in[/mm] V liegt
> ist doch eigentlich recht offensichtlich. [mm]\lambda[/mm] wird mit
> jedem Koeffizient von A multipliziert und ändert somit
> nicht die Eigenschaften von A, lediglich nur die Werte der
> einzelnen Koeffizienten. Keine Ahnung wie ich das sauber
> ausformuliert schreiben kann:(.
Für A [mm] \in [/mm] V ist
[mm] $(\lambda*A)^T= \lambda*A^T= \lambda*A$
[/mm]
>
> UV1: [mm]V\not= \emptyset[/mm]
> Nun ja, auch hier hab ich Probleme.
Mann ! Stell Dich doch nicht so an ! Ist die Nullmatrix (also die nxn-Matrix, die nur Nullen enthält) symmetrisch oder nicht ?
> Ich darf kein Beispiel angeben laut einem früheren Zettel,
> wo ich dies falsch hatte.
> Wie kann ich dann zeigen, dass [mm]V\not= \emptyset?[/mm] Ich meine
> es ist offensichtlich das zich Matrizen drin liegen...
> Wie ich denke ist es hilfreich wieder ein Nullelement zu
> betrachten. Eventuell die Nullmatrix für [mm]K^{1 x 1}.[/mm] Da K
> ein Körper sein muss existiert für die Addition eben
> dieses Nullelement und da für [mm]K^{1 x 1}=[/mm] K gilt, nehme ich
> mir einfach die 0. Jede Zahl ist symmetrisch und es gilt
> [mm]0^T=[/mm] 0, was UV1 beweisen würde.
>
> Zum Aufgabenteil b):
> Ich weiß jetzt schon einmal wie man die Dimension des
> Untervektorraums bestimmt. Aber das ist eine Menge Arbeit,
> kann das sein? Aber, Faulheit wird bestraft, deshalb:
>
> Für 2x2 Matrizen mit [mm]A=A^T[/mm] fallen mir folgende 3 Matrizen
> ein:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
>
> Müssen hierbei die Matrizen linear unabhängig sein oder
> nur die einzelnen Vektoren? Ersteres macht mehr Sinn denke
> ich. Muss ich expliziert die lineare Unabhängigkeit dieser
> zeigen? Ja oder?
>
> Auf meinem Schmierpapier steht jetzt, dass es für 3 x 3
> Matrizen mit den gewünschten Eigenschaften 6 Matrizen
> gibt, die lin. unabhängig sind. Also
>
> dim V (für n = 1) = 1
> dim V (für n = 2) = 3
> dim V (für n = 3) = 6
>
> dann müsste für
> dim V (für n = 4) = 10 gelten oder?
>
> Für sowas hatten wir eine Formel (rechts die..)
> dim V = n+ [mm]\frac{n^2-n}{2}[/mm]
>
> Ich denke mal, dass dies stimmt.
Es stimmt.
FRED
> Aber jetzt hab ich noch
> ein wenig Angst, die lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Von
> mir aus für 2 x 2 Matrizen oder 3 x 3 noch wenn nötig,
> aber das allgemein zu zeigen ist bestimmt nicht leicht
> oder?
>
> Liebe Grüße
>
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Als ob ich mich anstelle, ich sage nur das was ich denke, sowohl, dass ich unsicher bin und zum anderen meine Idee und schließlich ging sie schon einmal in die richtige Richtung. Aber naja...
Letzte Frage, ich scheine ja ziemlich zu nerven, muss ich die lineare Unabhängigkeit für die Matrizen beweisen in Aufgabenteil b) zur Bestimmung der Dimension?
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muss ich
> die lineare Unabhängigkeit für die Matrizen beweisen in
> Aufgabenteil b) zur Bestimmung der Dimension?
Hallo,
sag' eine Basis des Raumes und beweise, daß es eine ist, indem Du zeugst, daß sie ein Erzeugendensystem ist und linear unabhängig.
Gruß v. Angela
>
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Reicht es aus das für einen Fall zu machen oder 2? Also lin. unabh. und Erzeugendensystem ist hier nicht besonders schwer zu zeigen:
[mm] \lambda_1 \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] + [mm] \lambda_2 \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] \lambda_3 \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 0 & \lambda_1 \\ \lambda_1 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & \lambda_3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ \lambda_2 & \lambda_1 \\ \lambda_1 & \lambda_3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0
[/mm]
Analoges vergehen für Erzeugenden-System, nur dass dann am Ende da steht [mm] \pmat{ \lambda_2 & \lambda_1 \\ \lambda_1 & \lambda_3 } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] mit a_ij= A [mm] \in [/mm] V..
[mm] ...\Rightarrow [/mm] eine Basis von V für n=2 ist [mm] {{\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } }}
[/mm]
Oder muss ich das allgemein angehen...?!
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Hallo,
Du hast's jetzt für n=2 gezeigt, und nun wären die Beweise für n=1,3,4,5,6,... noch dran.
Leider schaffst Du das nicht alles bis zur Abgabe - auch am Ende Deines Lebens wärest Du noch nicht fertig damit.
> Oder muss ich das allgemein angehen...?!
Das wäre sehr empfehlenswert. Du willst ja nicht mit so langweiligem Zeugs Dein ganzes Leben verplempern.
Gruß v. Angela
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Haha, ja wohl wahr^^.
Also, wie nochmal geht man so etwas allgemein an?
Also mir würde jetzt nur ein Induktionsbeweis einfallen, der das für alle n [mm] \in \IN [/mm] zeigen würde.
Sprich ich sage an, dass meine Formel gilt und dass es dann immer eine Basis mit den Elementen gibt, die meine Formel ausspuckt für die Dimension?!
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> Also mir würde jetzt nur ein Induktionsbeweis einfallen,
> der das für alle n [mm]\in \IN[/mm] zeigen würde.
>
> Sprich ich sage an, dass meine Formel gilt und dass es dann
> immer eine Basis mit den Elementen gibt, die meine Formel
> ausspuckt für die Dimension?!
Hallo,
Induktion würde ich nicht machen.
Sag' eine Basis von V, zähle die Elemente und zeige, daß es eine Basis ist, daß es also ein l.u. Erzeugendensystem ist.
Gruß v. Angela
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Was meinst du mit, "sag ' eine Basis"?
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> Was meinst du mit, "sag ' eine Basis"?
Hallo,
ich meine damit nicht, daß Du einfach "eine Basis" sagen sollst, sondern daß du eine Basis von V hinschreiben sollst.
So, wie Du für den Fall n=2 die drei Matrizen angegeben hast, machst du das jetzt für n beliebig auch.
Falls Dir das Notieren schwerfällt, kannst Du ja auch erstmal beschreiben, wie die Matrizen aussehen und sie zählen.
Beim Aufschrieb kann Dir sicher jemand helfen.
Gruß v. Angela
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Ich hoffe ich befolge deinen Ratschlag richtig. Ich habe jetzt überlegt welche Symmetrien auftreten, je nachdem welches n man wählt, wie viele Basiselemente V dann hat.
Es ist mir aufgefallen, dass für n beliebig gilt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ : \\ : \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 }
[/mm]
Anfangs ergeben sich die ersten Basiselemente dadurch, dass die 1 alle Hauptdiagonalelemente abwandert. Heißt, man hat hier schon einmal n Basiselemente
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ : \\ : \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 } [/mm] Hierbei wandern die 1-sen gleichzeitig in Spalte 1 nach unten und Zeile 1 nach recht. Man bekommt weitere n-1 Basiselemente.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ : \\ : \\ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 } [/mm] Hierbei wandern die 1-en in Zeile n nach rechts und die 1 in Spalte n nach unten (Element n,n wird nicht erreicht). Man bekommt weitere n-2 Basiselemente.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ : \\ : \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 } [/mm] Hierbei wandert die 1 in Spalte 2 nach unten bis Zeile n-1 und gleichzeitig die 1 in Zeile 2 nach rechts bis Spalte n-1. Man erhält weitere n-3 Basiselemente.
... So setzt sich dies fort und man addiert alle Basiselemente auf, was wie folgt aussieht für n [mm] \in \IN
[/mm]
Mächtigkeit der Basis: n + (n-1) + (n-2) + ... + (n-(n-2)) + n- (n-1) = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1 = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} [/mm] n-i
Wenn man das so schön aufgeschrieben hat, sieht man zudem, dass jedes Basiselement (jede Basismatrix) seine eigenen Einträge hat, damit meine ich, kein einziger Eintrag kommt doppelt vor, also müssen die Matrizen linear unabhängig sein. Genauso allerdings kommt jeder Eintrag der nxn Matrix genau einmal vor, was heißt, diese Matrizen müssen erzeugend sein, da sie aufaddiert exakt eine Matrix im n x n Format ergeben, die komplett mit 1-en gefüllt ist.
Das letzte muss ich noch sauber formulieren (mathematisch) oder? Aber wie schaffe ich das?
Edit: Also das erinnert an den Herrn Gauß:). Und somit ist meine Formel oben auch bestätigt. Klasse:).
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Hallo,
Deine Überlegungen zu den Basiselementen und ihrer Anzahl stimmen.
> Wenn man das so schön aufgeschrieben hat, sieht man zudem,
> dass jedes Basiselement (jede Basismatrix) seine eigenen
> Einträge hat, damit meine ich, kein einziger Eintrag kommt
> doppelt vor, also müssen die Matrizen linear unabhängig
> sein. Genauso allerdings kommt jeder Eintrag der nxn Matrix
> genau einmal vor, was heißt, diese Matrizen müssen
> erzeugend sein, da sie aufaddiert exakt eine Matrix im n x
> n Format ergeben, die komplett mit 1-en gefüllt ist.
Ich bin mir sicher, daß die richtigen Überlegungen hinter dem, was du schreibst, stecken und daß Du das Richtige meinst. So wie es dasteht, ist es aber falsch.
Du könntest als Behauptung z.B. schreiben:
[mm] (A_i_k|i\le [/mm] k und [mm] 1\le i,k\le [/mm] n) ist eine Basis von V.
Dabei ist [mm] A_i_i [/mm] die Matrix, die auf der Hauptdiagonalen an der Stelle i-te Zeile/i-te Spalte eine 1 stehen hat und sonst nur Nullen,
und
[mm] A_i_k [/mm] die Matrix, die an den Stellen i-te Zeile/k-te Spalte und k-te-Spalte/i-te Zeile je eine 1 und sonst nur Nullen hat.
Zeigen mußt du nun Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit.
Erzeugendensystem:
Sei [mm] A:=(a_i_k) \in [/mm] V. Dann ist [mm] a_i_k=a_k_i [/mm] für alle i,k=1,2,...,n.
Es ist
[mm] \summe_{k=1}^na_1_kA_1_k+\summe{k=2}^na_2_kA_2_k+...+\summe_{k=n-1}^na_{n-1}_kA_{n-1}_k [/mm] + [mm] a_n_nA_n_n= [/mm] A,
also ist [mm] (A_i_k|i\le [/mm] k und [mm] 1\le i,k\le [/mm] n) ein Erzeugendensystem von V.
Was ich hier mit den indizes geschrieben habe, kannst Du natürlich auch mit Deinen Matrizen mit den Pünktchen schreiben.
Lineare Unabhängigkeit:
es seien [mm] a_i_k [/mm] so, daß
[mm] \summe_{k=1}^na_1_kA_1_k+\summe{k=2}^na_2_kA_2_k+...+\summe_{k=n-1}^na_{n-1}_kA_{n-1}_k [/mm] + [mm] a_n_nA_n_n=Nullmatrix
[/mm]
==> [mm] \pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & ... &...& a_1_n\\
a_1_2 & a_2_2 & a_2_3& a_2_4 & ... &...& a_2_n \\
a_1_3 & a_2_3 & a_3_3 & a_3_4 & ... &...& a_3_n \\
: \\
: \\
a_1_n & a_2_n & a_3_n & a_4_n & ... &a_{n-1}_n& a_n_n } [/mm]=Nullmatrix
==> [mm] a_i_k=0 [/mm] für alle [mm] 1\le i,k\le [/mm] n,
also ist [mm] (A_i_k|i\le [/mm] k und [mm] 1\le i,k\le [/mm] n) linear unabhängig.
Nun hoffe ich nur, daß ich nirgendwo Indexsalat veranstaltet habe. Das wäre nämlich nicht gut.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:06 So 11.12.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Ach von den Indize lass ich mich nicht stören. Angela, wie immer vielen Dank:)!
Denke mal, dass ich das richtig hinbekommen habe:).
Liebe Grüße!
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