Typ der Definitheit erkennen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Do 24.07.2008 | | Autor: | verc |
| Aufgabe | | Untersuchen sie die Definitheit von [mm] H=\pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 8 } [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe wird in einer Musterlösung folgendes gezeigt:
[mm] a_{11} [/mm] = 2 > 0
det H = 16 - [mm] 4^{2} [/mm] = 0
Es wird hiernach direkt gefolgert, dass H positiv semidefinit ist, ohne die Eigenwerte auszurechnen. Allgemein verstehe ich nicht, wie dies nur nach Kenntnis des Elements [mm] a_{11} [/mm] und der Existenz mindestens eines Eigenwertes=0 gefolgert werden kann (bzw. warum H nicht auch negativ semidefinit sein könnte).
Sind etwa die Eigenwerte einer n*n-Matrix bei positivem Element [mm] a_{11} [/mm] alle [mm] \ge [/mm] 0?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen sie die Definitheit von [mm]H=\pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 8 }[/mm]
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> Hallo!
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> Bei obiger Aufgabe wird in einer Musterlösung folgendes
> gezeigt:
> [mm]a_{11}[/mm] = 2 > 0
> det H = 16 - [mm]c^{2}[/mm]
> Es wird hiernach direkt gefolgert, dass H positiv
> semidefinit ist, ohne die Eigenwerte auszurechnen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hier wurde das Hauptminorenkriterium verwendet, Beweise hierzu findest Du in der Literatur.
> Allgemein verstehe ich nicht, wie dies nur nach Kenntnis
> des Elements [mm]a_{11}[/mm] und der Existenz mindestens eines
> Eigenwertes=0 gefolgert werden kann (bzw. warum H nicht
> auch negativ semidefinit sein könnte).
> Sind etwa die Eigenwerte einer n*n-Matrix bei positivem
> Element [mm]a_{11}[/mm] alle [mm]\ge[/mm] 0?
Bei symmetrischen nxn-Matrizen sind alle Eigenwerte >0, wenn die Determinante der Matrix und die Determinanten aller linken oberen Untermatrizen (Hauptminoren) >0 sind.
Bei 2x2-Matrizen müssen also dieDeterminante der Matrix und das linke obere Element >0 sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Fr 25.07.2008 | | Autor: | verc |
Hallo!
> Hier wurde das Hauptminorenkriterium verwendet, Beweise hierzu findest Du in der Literatur.
In der Wikipedia steht: Für Semidefinitheit gibt es kein Hauptminorenkriterium.
> Bei symmetrischen nxn-Matrizen sind alle Eigenwerte >0, wenn die Determinante > der Matrix und die Determinanten aller linken oberen Untermatrizen (Hauptminoren) >0 sind.
Hier ist jedoch nur der erste Hauptminor >0, der zweite ist 0 - wäre letzterer auch > 0, könnte man direkt positive Definitheit folgern.
> Bei 2x2-Matrizen müssen also die Determinante der Matrix und das linke obere Element >0 sein.
Hier ist die Determinante [mm] 2*8-4^{2}=0
[/mm]
Leider komme ich mit dem o.g. Satz noch nicht zur Aussage der Semidefinitheit. Trotzdem schon einmal vielen Dank für die Antwort!
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> > Hier wurde das Hauptminorenkriterium verwendet, Beweise
> hierzu findest Du in der Literatur.
Hallo,
ich habe zuvor offenbar nicht richtig erkannt, daß es Dir speziell um die Semidefinitheit geht.
> In der Wikipedia steht: Für Semidefinitheit gibt es kein
> Hauptminorenkriterium.
Im allgemeinen stimmt das auch, aber Du bist hier nicht im allgemeinen, denn Du betrachtest symmetrische 2x2-Matruizen, und hier ist die Lage etwas einfacher.
Du hast also eine Matrix [mm] A:=\pmat{ a & b \\ c & d }\, [/mm] deren Determinante =0 ist, und Du möchtest wissen, wie man daraus, daß das Element a>0 ist, darauf schließen kann, daß de Matrix positiv semidefinit ist.
Da die Determinante der Matrix=0 ist, weiß man daß ein Eigenwert =0 ist. Es sind aber nicht beide Eigenwerte=0, sonst wäre A die Nullmatrix.
Es ist der zweite Eigenwert [mm] \lambda [/mm] also von Null verschieden.
Die Matrix ist symmetrisch, also ist sie orthogonal ähnlich zu [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & \lambda }\, [/mm] dh. es gibt eine orthogonale Matrix T mit [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } =T^{t}\*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & \lambda }\*T.
[/mm]
Wenn Du nun T als [mm] \pmat{ t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 } [/mm] schreibst und oben die Multiplikation ausführst, so siehst Du, daß aus der Positivität von a die Positivität von [mm] \lambda [/mm] folgt.
Gruß v. Angela
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