Tupel von normalverteilten ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Zufallsvariablen X und Y seien normalverteilt. Ist dann auch die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) normalverteilt? Falls nicht, skizzieren Sie ein Gegenbeispiel. |
Hallo! Leider weiß ich mit der Aufgabe nichts anzufangen. Ich studiere Psychologie (keine Mathematik). Ich glaube, wenn beide Variablen normalverteilt sind, kommt als Punktewolke in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dann immer eine Ellipse oder ein Kreis raus? Wäre ein Gegenbeispiel dann etwas, was anders aussehen würde?
Die Zufallsvariablen können (hoch) miteinander korrelieren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Do 07.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich glaube, wenn beide Variablen normalverteilt sind, kommt als Punktewolke in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dann immer eine Ellipse oder ein Kreis raus?
Normalverteilt sind X und Y (die sogenannten Randverteilungen) nach Voraussetzung. Was Du hier meinst, nennt man multivariate/mehrdimensionale Normalverteilung. Aber Du hast recht, es muß eine Ellipse mit den beiden Grenzfällen Kreis (unabhängig) oder Linie (Y=X od. Y=-X) sein.
> Wäre ein Gegenbeispiel dann etwas, was anders aussehen würde?
Ja. Es gibt viele Beispiele für mehrdimensionale Zufallsvariablen mit normalen Randverteilungen, die aber nicht multivariate normalverteilt sind.
Am einfachsten läßt sich imho eine konstruieren, indem Du einfach die Definition für Y aufspaltest:
[mm] $Y:=\begin{cases} ? & \text{für } |X|\leq 1\\ ?& \text{für } |X| >1\end{cases}$
[/mm]
Wie könnte man Y definieren, so daß es normalverteilt ist?
ciao
Stefan
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Hallo. Vielen Dank erstmal für die Bestätigung meiner Vermutungen.
Zu deiner Frage, ich habe leider nicht wirklich Ahnung von Mathematik und leider wurde uns das auch nicht ganz so gut und sehr runtergebrochen nahe gebracht. Ich verstehe das jetzt so wie in der Zeichnung. Ich soll jetzt die Punkte (rot, erstmal nur die x-Koordinaten) so hoch und runterschieben, dass Y normalverteilt ist, aber keine Ellipse oder kein Kreis rauskommt? und zwar im rosa Bereich nach einer anderen Regel als im grünen Bereich.
[Dateianhang nicht öffentlich]
So habe ich das verstanden, keine Ahnung ob das so ist wie du das meintest. Aber selbst wenn es so ist, stehe ich immer noch auf dem Schlauch wie man das machen könnte.
Danke,
Sandra
Edit: Es muss keine mathematisch exakte Antwort sein, so eine Visualisierung mit einem Bild wäre auch genug bzw. was Informelles, da wir wie gesagt nicht so richtig viel Mathe machen bei uns.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 07.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich verstehe das jetzt so wie in der Zeichnung. Ich soll jetzt die Punkte (rot, erstmal nur die x-Koordinaten) so hoch und runterschieben, dass Y normalverteilt ist, aber keine Ellipse oder kein Kreis rauskommt? und zwar im rosa Bereich nach einer anderen Regel als im grünen Bereich.
Mehr oder weniger ja.
> Aber selbst wenn es so ist, stehe ich immer noch auf dem Schlauch wie man das machen könnte.
2 konkrete Möglichkeiten, wie Y aussehen könnte, stehen ja schon in meiner Antwort.
ciao
Stefan
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Ich habe es jetzt so verstanden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für mich sieht es zumindest einleuchtend aus.
Ist das so, wie du das meintest?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 So 10.07.2011 | | Autor: | Blech |
Ja. =)
Tue mir nur den Gefallen und schreib's als
[mm] $Y:=\begin{cases}X&\text{für}\ |X|<1\\ -X&\text{für}\ |X|\geq 1\end{cases}$
[/mm]
auch wenn Ihr es mit der Genauigkeit nicht so habt. =P
Jetzt zeigst Du noch
[mm] $P(Y\leq [/mm] x) = [mm] \Phi(x)$
[/mm]
[mm] ($\Phi$ [/mm] ist die Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung)
Dafür brauchst Du nix außer der Punktsymmetrie der Verteilungsfunktion (d.h. [mm] $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$), [/mm] und es läßt sich leicht mit Schulmathe machen. =)
ciao
Stefan
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