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Hallo!Die Tschebyschew Ungleichung ist mir klar. Allerdings habe ich hier den Originaltext von Tschebyschew vorliegen und muss zeigen, dass dies die heutige Tschebyschew Ungleichung darstellt. Mir fehlen nur ein paar kleine Hilfen. Der Satz lautet folgendermaßen: X sei die Zufallsgröße mit Erwartungswert [mm] \my [/mm] bzw. E(X). [mm] X^2 [/mm] sei das Quadrat von X mit dem und hat den Erwartungswert [mm] E(X^2).Dann [/mm] wird die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen den Grenzen [mm] X+\alpha \wurzel{E(X^2)-E(X)^2} [/mm] und [mm] X-\alpha \wurzel{E(X^2)-E(X)^2} [/mm] eingeschlossen ist, stets größer als 1- [mm] \bruch{1}{\alpha ^2} [/mm] für beliebiges [mm] \alpha [/mm] . Meine erste Frage nun : wenn etwas "zwischen den Grenzen" liegt, gehören die Grenzen dann dazu? bzw. gilt dann P( [mm] X-\alpha \wurzel{E(X^2)-E(X)^2} [/mm] < X < [mm] X+\alpha \wurzel{E(X^2)-E(X)^2} [/mm] oder muss es jeweils das zeichen [mm] \le [/mm] sein?
Zweite Frage: Die Wahrscheinlichkeit soll "stets größer" seinals 1- [mm] \bruch{1}{\alpha ^2}, [/mm] das bedeutet doch > oder und nicht [mm] \ge, [/mm] oder?
Wegen diesen Unklarheiten, habe ich Schwierigkeiten, die Tschebyschewsche Ungleichung richtig hinzubekommen! Bitte antwortet mir!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Tina!
Eigentlich ginge die Tschebyscheff-Ungleichung im Falle [mm] $\sigma(X)>0$ [/mm] und [mm] $\alpha>0$ [/mm] so:
[mm] $P(\frac{|X-E[X]|}{\sigma(X)} \ge \alpha) \le \frac{1}{\alpha^2}$.
[/mm]
Dann hättest du:
$P(E[X] - [mm] \alpha \sigma(X) [/mm] < X < E[X] + [mm] \alpha \sigma(X)) \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{\alpha^2}$.
[/mm]
Das würde aber nicht zum Originaltext passen ("größer" ist normalerweise als "echt größer" gemeint).
Ich habe mir den Beweis aber noch einmal vergegenwärtigt und bin zu dem Entschluss gekommen, dass im Falle [mm] $\sigma(X)>0$ [/mm] (also $X [mm] \not\equiv [/mm] E[X]$ $P$-fast sicher) auch
[mm] $P(\frac{|X-E[X]|}{\sigma(X)} [/mm] > [mm] \alpha) [/mm] < [mm] \frac{1}{\alpha^2}$
[/mm]
gelten müsste und damit dann auch das, was behauptet wird, nämlich:
$P(E[X] - [mm] \alpha \sigma(X) \le [/mm] X [mm] \le [/mm] E[X] + [mm] \alpha \sigma(X)) [/mm] > 1 - [mm] \frac{1}{\alpha^2}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Do 03.03.2005 | | Autor: | tinamol21 |
Danke schön!
Wenn das tatsächlich gilt, wäre mein problem ja gelöst! Thanx noch mal!
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