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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
die Ungleichung von Tschebyscheff lautet:
P(|X-E(X)| [mm] \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch {V(X)}{a^2}
[/mm]
Eine Beispielaufgabe:
Das Lebensalter, das man erreichen kann, sei eine Zufallsvaribale mit Erwartungswert [mm] \mu=75 [/mm] und Standardabweichung [mm] \sigma=5, [/mm] also Varianz [mm] V(X)=5^2=25. [/mm] Die Verteilung der vermutlich nicht binomial- oder normalverteilten Zufallsvariable ist unbekannt.
Berechnet werden soll, dass man zwichen 60 und 90 Jahre alt wird.
Mein Lösungsansatz:
P(|X-75| [mm] \ge [/mm] 16)=P(X [mm] \le [/mm] 59 oder X [mm] \ge [/mm] 91) [mm] \le \bruch {25}{16^2}
[/mm]
Wie berechne ich jetzt das P(...)? Mit der Binomial- oder Normalverteilung geht es ja anscheinend nicht. Wie muss ich rechnerisch das jetzt angehen?
Nachtrag: Um die Frage zu beantworten muss ich am Ende natürlich 1-"das Ergebnis der Rechnung" berechnen (Gegenereignis).
Gruß
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Hi, Back-Up,
> die Ungleichung von Tschebyscheff lautet:
>
> P(|X-E(X)| [mm]\ge[/mm] a) [mm]\le \bruch {V(X)}{a^2}[/mm]
Richtig! Aber es gibt noch mehrere dazu äquivalente Versionen, speziell die für Deine Aufgabe wichtige:
P(|X-E(X)| [mm] \le [/mm] a) > 1 - [mm] \bruch{Var(X)}{a^{2}}
[/mm]
>
> Eine Beispielaufgabe:
> Das Lebensalter, das man erreichen kann, sei eine
> Zufallsvaribale mit Erwartungswert [mm]\mu=75[/mm] und
> Standardabweichung [mm]\sigma=5,[/mm] also Varianz [mm]V(X)=5^2=25.[/mm] Die
> Verteilung der vermutlich nicht binomial- oder
> normalverteilten Zufallsvariable ist unbekannt.
>
> Berechnet werden soll, dass man zwischen 60 und 90 Jahre alt
> wird.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> P(|X-75| [mm]\ge[/mm] 16)=P(X [mm]\le[/mm] 59 oder X [mm]\ge[/mm] 91) [mm]\le \bruch {25}{16^2}[/mm]
Wo kommt die 16 her? M.E. lautet die Aufgabe:
P(|X-E(X)| [mm] \le [/mm] 15) > 1 - [mm] \bruch{25}{15^{2}} [/mm] = 0,889
>
> Wie berechne ich jetzt das P(...)? Mit der Binomial- oder
> Normalverteilung geht es ja anscheinend nicht. Wie muss ich
> rechnerisch das jetzt angehen?
Natürlich ist die Tschebyschow-Ungleichung gerade deshalb wichtig, weil es völlig WURSCHT ist, welcher Art die vorliegende Verteilung ist! Im Gegenteil: Wenn ich weiß, dass eine B-Verteilung mit bekannter Trefferwahrscheinlichkeit vorliegt, dann verwende ich sie besser NICHT, da sie VIEL ZU UNGENAU ist! In diesem Fall ist eine Näherung z.B. durch Normalverteilung viel besser. Faustregel: Je weniger man über die Verteilung weiß, desto besser ist die Tschebyschow-Ungleichung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Back-Up,
noch was zur möglichen Ungenauigkeit der Tschebyschow-Ungleichung:
Wäre bei Deiner Aufgabe umgekehrt bekannt gewesen, DASS eine Normalverteilung vorliegt, wäre für dieselbe Aufgabe Folgendes herausgekommen (OHNE Tschebyschoff!):
a=15 = [mm] 3*\sigma.
[/mm]
P(|X - 75| < [mm] 3\sigma) \approx [/mm] 0,9973
D.h. es wäre "fast sicher"!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Back-Up |
Es ist also am besten, wenn ich die Normalverteilung zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit nehmen, ja?
Ich habe 16 gewählt, da ich dachte dass zwischen 60 und 90 (einschließlich!) die Wahrscheinlichkeit gesucht wird.
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Hi, Back-Up,
> Es ist also am besten, wenn ich die Normalverteilung zum
> Berechnen der Wahrscheinlichkeit nehmen, ja?
Das darfst Du hier doch gar nicht!!! Schau mal Deinen Aufgabentext an, da steht ganz deutlich:
"...vermutlich nicht binomial- oder normalverteilt ..."
Damit klar: Tschebyschow und nix anderes!
Mit meinem Nachtrag hab' ich nur klarzumachen versucht, was WÄRE, WENN eine N-Vtlg. VORLÄGE!!! (Tut's aber halt nicht!!!!!!).
>
> Ich habe 16 gewählt, da ich dachte dass zwischen 60 und 90
> (einschließlich!) die Wahrscheinlichkeit gesucht wird.
Aber: 75-16 = 59; 75+16=81.
"Zwischen" 60 und 90 heißt:
60 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 90
oder: x [mm] \in [/mm] [60; 90]
oder: |X - 75| [mm] \le [/mm] 15.
Klaro?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Back-Up |
Das war ja meine ursprüngliche Frage: Wie rechne ich mit Tschebyscheff. Ich habe jetzt meine Ungleichung aufgestellt und jetzt frage ich mich, wie ich die lösen kann. Wie rechne ich konkret die Ungleichung
P(|X-75| [mm] \ge [/mm] 15)=P(X [mm] \le [/mm] 60 oder X [mm] \ge [/mm] 90) [mm] \le \bruch {25}{15^2}
[/mm]
oder besser
P(60 [mm] \ge [/mm] X [mm] \le [/mm] 90) > [mm] 1-\bruch {25}{15^2}
[/mm]
aus? Ich weiß nicht, wie ich jetzt loslegen muss.
Gruß
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Hi, Back-Up,
kann es sein, dass Du zu kompliziert denkst?
Sobald Du die Ungleichung hingeschrieben hast, brauchst Du nur noch die Zahlen in den Taschenrechner einzutippen und schwupps hast Du das Ergebnis! Rein rechnerisch ist die Tschebyshow-Ungleichung kindisch einfach!
> P(|X-75| [mm]\ge[/mm] 15)=P(X [mm]\le[/mm] 60 oder X [mm]\ge[/mm] 90) [mm]\le \bruch {25}{15^2}[/mm]
>
> oder besser
Nicht: "oder besser"! Nur DIE (also die folgende!) wäre gefragt!!
("wäre" weil Du ein falsches Ungleichungzeichen eingebaut hast!)
>
> P(60 [mm]\ge[/mm] X [mm]\le[/mm] 90) > [mm]1-\bruch {25}{15^2}[/mm]
>
> aus? Ich weiß nicht, wie ich jetzt loslegen muss.
P(60 [mm] [red]\le[/red] [/mm] X [mm] \le [/mm] 90) > 1 - [mm] \bruch {25}{15^2} [/mm] = 1 - [mm] \bruch [/mm] {1}{9} = [mm] \bruch [/mm] {8}{9} [mm] \approx [/mm] 0,889
FERTIG! AUS! VORBEI! ZU ENDE! NIX MEHR! FINIS! THIS IS THE END! ALLE! SCHLUSS! ...
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Hi, Back-Up,
dieser Aufgabentyp ist auch supereinfach.
Problem: Bei Tschebyschoff-Aufgaben ist manchmal auch die resultierende Wahrscheinlichkeit vorgegeben und
- das Intervall gesucht
oder
- die Standardabweichung.
Bei einer Binomialverteilung kann auch mal die Kettenlänge (also die Zahl n) gesucht sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Back-Up |
Danke für die Hilfe! Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 05.06.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
wird zwischen 70 und 80 Jahren gesucht, beträgt die Wahrscheinlichkeit 0, weil V(X) und [mm] a^2 [/mm] gleich groß sind. Ich habe aber nichts falsch gemacht, oder?
P(70 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 80) > [mm] 1-\bruch{25}{5^2} [/mm] = 0
Gruß
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Hi, Back-Up,
> wird zwischen 70 und 80 Jahren gesucht, beträgt die
> Wahrscheinlichkeit 0, weil V(X) und [mm]a^2[/mm] gleich groß sind.
> Ich habe aber nichts falsch gemacht, oder?
>
> P(70 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 80) > [mm]1-\bruch{25}{5^2}[/mm] = 0
Was ja nicht falsch ist:
Weder Deine Rechnung,
noch die Aussage, denn die Wahrscheinlichkeit ist nicht GLEICH 0, sondern GRÖSSER als 0. Dies ist zwar trivial, aber nicht falsch!
Was ergibt sich daraus?
Antwort: Die Aussage der Tschebyschow-Ungleichung ist nur dann sinnvoll, wenn a größer ist als die Standardabweichung.
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. Zum Rechnen mit dem Taschenrechner kann mir also das P(...) "egal" sein. Ich tippe einfach 1-1/9 ein und gut ist!? Und das geht immer so? Das wäre ja supereinfach 