Tschebyscheff-Ungl. Musterlös. < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:41 So 15.01.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo, ich habe hier eine Musterlösung zum Thema der Tschebyscheff Ungleichung.
Also die Aufgabe lautet:
Es sei bekannt, dass jedes vierzigste Kleeblatt vierblättrig ist. Jemand, der das schwache Gesetz der großen Zahlen kennt, weiß nun, dass er, wenn er sehr viele Kleeblätter sammelt, ungefähr jedes vierzigste als vierblättrig erhält. Nun fragt sich Herr Müller, der das schwache Gesetz der großen Zahlen nicht kennt, ob er mit Hilfe der Tschebysche 'schen Ungleichung abschätzen kann, wie viele Kleeblätter er sammeln muss, damit mit einer großen Wahrscheinlichkeit ungefähr jedes vierzigste seiner Kleeblätter vierblättrig ist.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Tschebysche 'schen Ungleichung ein möglichst kleines n [mm] \in \IN [/mm] , so dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von n gesammelten Kleeblättern mehr als jedes einundvierzigste und weniger als jedes neununddreißigste Kleeblatt vierblättrig ist, mindestens 90 Prozent beträgt.
Lösung: [mm] X_{n}= [/mm] Anzahl vierblättriger Kleeblätter von n gesammelten Kleeblättern [mm] X_{n} [/mm] binomialverteilt, [mm] p=\bruch{1}{40},n
[/mm]
Woran erkenne ich an der Aufgabenstellung, dass das eine Binomialverteilung ist?
Erwartungswert: n*p= [mm] \bruch{n}{40}
[/mm]
Varianz: n*p*q= [mm] \bruch{n39}{40^{2}}
[/mm]
Abschätzung für P( [mm] \bruch{n}{41}< X_{n}< \bruch{n}{39} [/mm] )
Wieso 41 und 39? Muss man immer eine Zahl über und unter dem Erwartungswert nehmen?
[mm] \bruch{n}{40} [/mm] - [mm] \bruch{n}{41} [/mm] = [mm] \bruch{n}{41*40} [/mm] < [mm] \bruch{n}{39*40}= \bruch{n}{30} [/mm] - [mm] \bruch{n}{40} [/mm] Wieso macht man das?
P( [mm] \bruch{n}{41}< X_{n}< \bruch{n}{39} )\ge [/mm]
P( [mm] \bruch{n}{41}< X_{n}< \bruch{n}{40} [/mm] + [mm] \bruch{n}{40*41} [/mm] )
= P( [mm] \bruch{n}{40} [/mm] - [mm] \bruch{n}{40*41}< X_{n}< \bruch{n}{40}+ \bruch{n}{40*41}) [/mm] = P( [mm] X_{n}-\bruch{n}{40}< \bruch{n}{40*41})=
[/mm]
1- P( [mm] X_{n}-\bruch{n}{40}> \bruch{n}{40*41}) [/mm] >
1- [mm] \bruch{Var}{(n/41*40)^2}= [/mm] 1- [mm] \bruch{41^{2}*39}{n}
[/mm]
Damit P( [mm] \bruch{n}{41}< X_{n}< \bruch{n}{39} )\ge [/mm] 0,9 gilt muss
n [mm] \ge \bruch{41^{2}*39}{0,1}= [/mm] 655590 -> n= 655590
Ich versteh die letzten Abschätzungen und Schritte überhaupt nicht. Vielleicht kann mir jemand diese erklären?
Ich versteh nämlich die Tschebyscheff Ungleichung überhaupt nicht.
Hoffe ihr könnt mir helfen
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Di 17.01.2012 | | Autor: | Stift |
Ich bin immer noch an der Antwort interessiert. Hoffe diesmal kann mir jemand helfen?
Gruß
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Hiho,
na dann wollen wir mal:
> Woran erkenne ich an der Aufgabenstellung, dass das eine Binomialverteilung ist?
Nehmen wir erstmal das i-te Kleeblatt und prüfen , obs vierblättrig ist.
Das wird beschrieben durch die Zufallsvariable [mm] Y_i [/mm] mit:
[mm] $Y_i [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{wenn Kleeblatt nicht vierblättrig } \\ 1, & \mbox{wenn Kleeblatt vierblättrig} \end{cases}$
[/mm]
und
[mm] $P[Y_i [/mm] = 1] = [mm] \bruch{1}{40}$
[/mm]
d.h. eben, das i-te Kleeblatt ist mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{40} [/mm] vierblättrig.
Oder anders ausgedrückt: Die Zufallsvariable [mm] Y_i [/mm] ist Bernoulliverteilt zum Parameter [mm] $\bruch{1}{40}$
[/mm]
Betrachten wir nun n Kleeblätter, wird das beschrieben durch die Zufallsvariable:
[mm] $X_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^n Y_i$
[/mm]
Und entweder du weißt nun, dass die Summe von Bernoulliverteilten Zufallfsvariablen binomialverteilt sind, oder du rechnest es einfach nach 
> Abschätzung für [mm] $P(\bruch{n}{41}< X_{n}< \bruch{n}{39})$ [/mm]
> Wieso 41 und 39? Muss man immer eine Zahl über und unter dem Erwartungswert nehmen?
Wieso Erwartungswert? Der Erwartungswert ist ja [mm] $\bruch{n}{40}$ [/mm] und da wird nichts "eins drüber" oder "eins drunter" genommen.
Die Abschätzung kommt aus der Aufgabenstellung, die da ja lautet:
> Bestimmen Sie [...] ein möglichst kleines n , so dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von n gesammelten Kleeblättern mehr als jedes einundvierzigste und weniger als jedes neununddreißigste Kleeblatt vierblättrig ist, mindestens 90 Prozent beträgt.
Heißt also: Die Wahrscheinlichkeit, dass im Schnitt jedes 40. Kleeblatt ein vierblättriges ist (wobei das so nicht ganz korrekt ist, weil der "Schnitt" ja eben auch rational sein kann, also bspw. jedes 40,5 Kleeblatt ist vierblättrig, darum die Einschränkung: Jedes x-te Kleeblatt mit 39 < x < 41)
Und da kommt auch die Einschränkung her, wie wir das [mm] X_n [/mm] einschränken.
Sind MEHR als jedes 41. Kleeblatt von n getesteten vierblättrig, so gilt:
[mm] $\bruch{n}{41} [/mm] < [mm] X_n$ [/mm] weil [mm] X_n [/mm] ja gerade die Anzahl an vierblättrigen Kleeblättern von n Stück ist.
Analog gilt:
Sind WENIGER als jedes 39. Kleeblatt von n getesteten vierblättrig, so gilt:
[mm] $X_n [/mm] < [mm] \bruch{n}{39}$
[/mm]
Und wir wollen nun, dass die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_n [/mm] gerade dazwischen liegt, mindestens 90% ist, also dass gilt:
[mm] $P\left(\bruch{n}{41}< X_{n} < \bruch{n}{39}\right) \ge [/mm] 0.9$
Dazu schätzen wir ein wenig ab:
[mm] $P\left(\bruch{n}{41}< X_{n} < \bruch{n}{39}\right) \ge P\left(\bruch{n}{41}< X_{n} < \bruch{n}{40} + \bruch{n}{40\cdot{}41}\right) [/mm] $
Die Ungleichung gilt, weil [mm] $\bruch{n}{39} [/mm] > [mm] \bruch{n}{40} [/mm] + [mm] \bruch{n}{40\cdot{}41}$.
[/mm]
Und machen wir die obere Grenze kleiner, sinkt natürlich auch die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_n [/mm] kleiner ist als die obere Grenze.
$= [mm] P\left(\bruch{n}{40} - \bruch{n}{40\cdot{}41} < X_{n} < \bruch{n}{40} + \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)$
[/mm]
Dies gilt einfach, weil [mm] $\bruch{n}{41} [/mm] = [mm] \bruch{n}{40} [/mm] - [mm] \bruch{n}{40\cdot{}41}$
[/mm]
Auf allen Seiten ziehen wir nun [mm] \bruch{n}{40} [/mm] ab, dann steht dort:
$= [mm] P\left(- \bruch{n}{40\cdot{}41} < X_{n} - \bruch{n}{40} < + \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)$
[/mm]
Nun nutzt man aus, dass $-a < x < a$ gleichbedeutend ist mit $|x| < a$ und kann den Ausdruck dann schreiben als:
$= [mm] P\left(\left|X_{n} - \bruch{n}{40}\right| < \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)$
[/mm]
Bei deinem Posting fehlten übrigens die Betragsstriche 
Nun sollst du ja eigentlich die Tschebyscheff-Ungleichung nutzen, die sagt:
[mm] $P\left[|X-\mu| \ge \varepsilo\right] \le \bruch{\sigma^2}{\varepsilon^2}$, [/mm] wobei [mm] $\mu$ [/mm] der Erwartungswert und [mm] $\sigma^2$ [/mm] die Varianz von X ist.
Wenn wir uns nun unseren Ausdruck
$= [mm] P\left(\left|X_{n} - \bruch{n}{40}\right| < \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)$
[/mm]
anschauen, stellen wir fest, dass dort bis auf das Relationszeichen schon genau das steht, denn [mm] \bruch{n}{40} [/mm] ist der Erwartungswert von [mm] X_n.
[/mm]
Um das Relationszeichen von < auf [mm] \ge [/mm] anzupassen, nutzen wir die Umformung zur Gegenwahrscheinlichkeit:
$= 1 - [mm] P\left(\left|X_{n} - \bruch{n}{40}\right| \ge \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)$
[/mm]
Und siehe da, nun haben wir die Form der Tschebyscheff-Ungleichung mit [mm] $\mu [/mm] = [mm] \bruch{n}{40}$ [/mm] und [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{n}{40\cdot{}41}$ [/mm] und können daher abschätzen:
[mm] $=P\left(\left|X_{n} - \bruch{n}{40}\right| \ge \bruch{n}{40\cdot{}41}\right) \le \bruch{\text{Var}(X_n)}{\left( \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)^2}$
[/mm]
Und da wir den Ausdruck ja abziehen, können wir den Gesamtausdruck abschätzen zu:
[mm] $\ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{\text{Var}(X_n)}{\left( \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)^2}$
[/mm]
$= 1 - [mm] \bruch{\bruch{39n}{40^2}}{\left( \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)^2}$
[/mm]
$= 1 - [mm] \bruch{41^2*39}{n}$
[/mm]
Und wenn wir nun sicherstellen, dass DIESER Ausdruck grösser als 0.9 ist, ist nach unser Abschätzungskette ja auch unserer Anfangsausdruck grösser als 0.9
Zusammengefasst also:
[mm] $P\left(\bruch{n}{41}< X_{n} < \bruch{n}{39}\right) \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{41^2*39}{n} [/mm] > 0.9$
Naja, und die Ungleichung:
$1 - [mm] \bruch{41^2*39}{n} [/mm] > 0.9$ kann man durch Umstellen auflösen zu
$n > 655590$
Und wenn du hier angekommen bist und alles verstanden hast, hast dus geschafft
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo, vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Ich glaube ich habe auch alles soweit verstanden.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo, ich habe doch noch eine Frage zu einem Schritt:
> [mm]=P\left(\left|X_{n} - \bruch{n}{40}\right| \ge \bruch{n}{40\cdot{}41}\right) \le \bruch{\text{Var}(X_n)}{\left( \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)^2}[/mm]
>
> Und da wir den Ausdruck ja abziehen, können wir den
> Gesamtausdruck abschätzen zu:
>
> [mm]\ge 1 - \bruch{\text{Var}(X_n)}{\left( \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)^2}[/mm]
Woher weiß ich oder seh ich, dass diese Abschätzung stimmt??
Gruß
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Hiho,
> Hallo, ich habe doch noch eine Frage zu einem Schritt:
>
> > [mm]=P\left(\left|X_{n} - \bruch{n}{40}\right| \ge \bruch{n}{40\cdot{}41}\right) \le \bruch{\text{Var}(X_n)}{\left( \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)^2}[/mm]
>
> Woher weiß ich oder seh ich, dass diese Abschätzung
> stimmt??
DAS ist die Tschebycheff-Abschätzung für [mm] $X_n$ [/mm] !
Da der Erwartungswert von [mm] X_n [/mm] gerade [mm] $\mu [/mm] = [mm] \bruch{n}{40}$ [/mm] ist, steht dort nichts anderes als:
[mm] $P\left(\left|X_{n} - \mu\right| \ge \bruch{n}{40\cdot{}41}\right)$
[/mm]
Nun wende die Tschebycheff-Ungleichung an.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Stift |
upps, ich sollte genauer hingucken.
Danke nochmal du hast mir echt sehr geholfen.
Gruß
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