Trigonometrisches Polynom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Do 08.09.2005 | | Autor: | Athena |
Hallo!
Ich schwitze hier über einer Aufgabe für die mir der Ansatz fehlt. Es geht darum [mm] cos^{n}(x) [/mm] für n=2,3 als trigonometrisches Polynom in komplexer und Sinus-Cosinus Form zu schreiben. Mehr Informationen bietet die Aufgabe nicht.
Ich habe die Musterlösung und inzwischen hineingesehen, verstehe aber nicht wie die auf den Ansatz kommen, vielleicht könnte mir bitte jemand von euch einfach den Denkanstoß geben bzw. das erklären.
Mir ist klar, dass die Funktion [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist, also [mm] T=2\pi. [/mm] Damit ist [mm] \omega=\bruch{2\pi}{T}=1
[/mm]
Der Ansatz aus der Lösung ist nun [mm] sin(x)=\bruch{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} [/mm] bzw [mm] cos(x)=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
[/mm]
Wie komme ich darauf? Die Euler-Formel [mm] e^{i\omegax} [/mm] = [mm] cos(\omegax) [/mm] + i [mm] sin(\omegax) [/mm] gibt das offenbar nicht her.
Welche Regeln, Sätze etc benötige ich um darauf zu kommen? Die eigentlichen Umformungen danach sind für mich kein Problem.
Vielen Dank im Voraus!
Jessi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 08.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Jessi!
> Der Ansatz aus der Lösung ist nun
> [mm]sin(x)=\bruch{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/mm] bzw
> [mm]cos(x)=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/mm]
>
> Wie komme ich darauf? Die Euler-Formel [mm]e^{i\omegax}[/mm] =
> [mm]cos(\omegax)[/mm] + i [mm]sin(\omegax)[/mm] gibt das offenbar nicht her.
Nunja, die Euler-Formel gibt das schon her, man muss sie sich nur gernauer ansehen:
[mm] $e^{ix} [/mm] - [mm] e^{-ix} [/mm] = cos(x) + i*sin(x) - cos(-x) - i*sin(-x) = cos(x) + i*sin(x) - cos(x) + i*sin(x) = 2*i*sin(x)$ jetzt noch durch 2i teilen, und Du hast die obige Formel.
$cos(x)$ ergibt sich, indem Du einfach [mm] $+e^{-ix}$ [/mm] statt [mm] $-e^{-ix}$ [/mm] rechnest.
greetz
AT-Colt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Do 08.09.2005 | | Autor: | Athena |
Vielen Dank! :)
Genau das brauchte ich, nach 8h Lernen sieht man manchmal den Wald vor lauter Bäumen (Formeln) nicht mehr. :)
|
|
|
|
