Trigonometrische Polynome < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien f und g trigonometrische Polynome vom Grad m und n. Zeige, dass fg ein trigonometrisches Polynom vom Grad m+n ist. Benutze die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt, jedoch nirgends eine befriedigende Antwort erhalten:
- http://www.onlinemathe.de/forum/Trigonometrische-Polynome
- http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=549542
- http://www.gute-mathe-fragen.de/180511/trigonometrische-polynome
Könnte mir jemand für die obrige Aufgabe den Beweis zeigen? Ich weiss echt nicht wie ich das machen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 So 30.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Nimm Dir mal 2 solche trig. Polynome her und multipliziere sie. Dann bemühe diese Formeln
[mm] $\sin [/mm] x [mm] \; \sin [/mm] y = [mm] \frac{1}{2}\Big(\cos [/mm] (x-y) - [mm] \cos (x+y)\Big)$
[/mm]
[mm] $\cos [/mm] x [mm] \; \cos [/mm] y = [mm] \frac{1}{2}\Big(\cos [/mm] (x-y) + [mm] \cos (x+y)\Big)$
[/mm]
[mm] $\sin [/mm] x [mm] \; \cos [/mm] y = [mm] \frac{1}{2}\Big(\sin [/mm] (x-y) + [mm] \sin (x+y)\Big) [/mm] $
um Produkte der Form [mm] $\sin(mx)* \sin [/mm] (nx)$, [mm] $\cos(mx)* \sin [/mm] (nx)$, etc .... in den Griff zu bekommen.
FRED
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Erstmals vielen Dank für die Antwort!
wenn ich das richtig verstanden habe, komme ich beim einsetzen in die erste Formel auf:
[mm] \bruch{1}{2}((cos(mx-nx)-(cos(mx+nx))
[/mm]
Und wie mache ich jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 So 30.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Erstmals vielen Dank für die Antwort!
>
> wenn ich das richtig verstanden habe, komme ich beim
> einsetzen in die erste Formel auf:
>
> [mm]\bruch{1}{2}((cos(mx-nx)-(cos(mx+nx))[/mm]
>
> Und wie mache ich jetzt weiter?
Klammere mal x in den Argumenten aus, und benutze, dass der Cosinus eine gerade Funktion ist, also dass cos(-x)=cos(x)
Marius
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Wenn ich das mache, gitbt das ja:
[mm] \bruch{1}{2}cos(x(m-n))-cos(x(m+n))
[/mm]
Deinen nächsten Schritt habe ich leider nicht ganz verstanden. Wie genau kann ich hier weitermachen? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 So 30.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> Wenn ich das mache, gitbt das ja:
>
> [mm]\bruch{1}{2}cos(x(m-n))-cos(x(m+n))[/mm]
>
> Deinen nächsten Schritt habe ich leider nicht ganz
> verstanden. Wie genau kann ich hier weitermachen? :)
Das Ziel des Hinweises von M.Rex erschließt mir gerade auch nicht. Dass Du die äußere Klammer weggelassen hast, ist gut. Jedoch ist dabei ein Faktor 1/2 verloren gegangen. Schau Dir mal an, was da steht. Das ist ein trigonometrisches Polynom vom Grad (m+n).
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Also muss ich noch 1/2 beim hinteren Term hinschreiben und das wäre schon der ganze Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mo 01.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Naja, Du musst es noch für die anderen Kombinationen von sin und cos zeigen. Dabei musst Du noch zeigen, dass es höchstens n+m werden kann. Weiterhin musst Du noch zeigen, dass Du für den Fall, dass m-n negativ wird, das auch wieder ins Positive wenden kannst. Dazu kam der Hinweis von M.Rex.
Formal ist das noch kein Beweis, aber ich denke, dass der auch nicht gefordert wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien f und g trigonometrische Polynome vom Grad m und n.
> Zeige, dass fg ein trigonometrisches Polynom vom Grad m+n
> ist. Benutze die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt, jedoch nirgends eine befriedigende
> Antwort erhalten:
ist sicher nicht wirklich so vom Aufgabensteller gewollt, aber man kann
die Aufgabe auch angehen, indem man das trigonometrische Polynom
erstmal *in komplexer Form* schreibt.
Ich will es nicht ausführen, sondern nur andeuten, denn Du kennst es
eigentlich schon: Für Fourierreihen gibt es eine komplexe und (mehrere,
aber wenigstens) eine (überwiegend gängige) reelle Darstellungs-
Möglichkeit(en).
Der Vorteil hierbei wäre übrigens, dass man viel stärker sieht, was solche
Rechnungen mit *Polynomen* zu tun haben. Es gibt nämlich sowas wie
die Faltungsformel für Polynome...
Gruß,
Marcel
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Ja das Problem ist, dass ich das Themen Fourierreihen/polynome und periodische Funktionen nicht ganz verstehe, darum kann ich das selbst nicht wirklich auf die Reihe bringen :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja das Problem ist, dass ich das Themen
> Fourierreihen/polynome und periodische Funktionen nicht
> ganz verstehe, darum kann ich das selbst nicht wirklich auf
> die Reihe bringen :(
ich kann Dir, aufgrund Deines Studienfaches, echt nur sagen: Learning by
doing.
Learning by waiting klappt selten(st).
Also: Sieh' es wie ein Training. Du musst es immer und immer wieder
machen, irgendwann bist Du fit. Aber es gibt nur den einen Weg, und
diesen Strapazen musst Du Dich stellen. Auch, wenn es noch so
anstrengend ist. Und Fehler machen ist verzeihbar und menschlich.
Und was die Alternative betrifft: Ich habe nicht gesagt, dass Du sie
heranziehen musst oder sollst. Ich sagte nur: Du kannst es (später)
ja auch mal auf diesem Weg versuchen. Ob Du dahingehend noch genug
Motivation hast, musst Du dann selbst beurteilen!
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die Unterstützung,
normalerweise ist Mathe nicht soo ein Problem, aber dieses Mal verstehe ich die Aufgaben nicht einmal, auch unsere Übungsstundenassistenten haben gesagnt, wir sollen mit Wolfram Alpha machen was geht, und den rest weglassen.
Nächste Woche haben wir zwei Zwischenprüfungen in anderen Fächern, drum habe ich gerade wenig Zeit dafür, aber wir müssen gewisse % in den Matheübungen haben, um an die Endprüfung zugelassen z werden, darum versuche ich nun in Foren den Stoff für das Lösen dieser Aufgaben möchglichst in kompakter Form zu lernen, ohne mehrere Stunden die ganze Theorie anschauen zu müsen, wofür die Zeit gerade nicht reicht...
Aber normalerweise mache ich das so, wie du es sagst, die Aufgaben in Grüppchen zu lösen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Unterstützung,
>
> normalerweise ist Mathe nicht soo ein Problem, aber dieses
> Mal verstehe ich die Aufgaben nicht einmal, auch unsere
> Übungsstundenassistenten haben gesagnt, wir sollen mit
> Wolfram Alpha machen was geht, und den rest weglassen.
>
> Nächste Woche haben wir zwei Zwischenprüfungen in anderen
> Fächern, drum habe ich gerade wenig Zeit dafür, aber wir
> müssen gewisse % in den Matheübungen haben, um an die
> Endprüfung zugelassen z werden, darum versuche ich nun in
> Foren den Stoff für das Lösen dieser Aufgaben
> möchglichst in kompakter Form zu lernen, ohne mehrere
> Stunden die ganze Theorie anschauen zu müsen, wofür die
> Zeit gerade nicht reicht...
>
> Aber normalerweise mache ich das so, wie du es sagst, die
> Aufgaben in Grüppchen zu lösen ;)
das ist gut. Nebenbei, falls die Zeit dafür dennoch noch reichen sollte: Ich
glaube, dass das Buch
Fouriertransformation für Ingenieur- und Naturwissenschaften (Klingen, Bruno)
ganz gut für die Art und Weise geeignet ist, wie ihr an die Fouriertransformation
herangeht. Das sieht alles sehr ingenieurwissenschaftlich aus, wenn ich mir
diese Bemerkung erlauben darf. (Dort geht es weniger um mathematische
Exaktheit, als vielmehr um *Erfolg in den Anwendungen*. Das *Exakte* kann
dann ggf. nachgeliefert werden...).
Gruß,
Marcel
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