Trigonometrische Gleichung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Fr 15.06.2007 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | | 4 sin (x) = 2 x= [0;2 [mm] \pi [/mm] ] |
Hallo !
Ich weiss nicht genau, wie man diese Aufgabe löst. Ich habe es so gerechnet :
sin (x)= 0,5
arcsin (x) = 30
Ich verstehe schon, dass 150 auch eine mögliche Lösung ist, nur weiss ich nicht, was man machen muss, um das zu kriegen.
Vielen Dank
|
|
| |
|
Hi, belf,
> 4 sin (x) = 2 x= [0;2 [mm]\pi[/mm] ]
>
> Ich weiss nicht genau, wie man diesen Aufgabe löst. Ich
> habe so gerechnet :
>
> sin (x)= 0,5
>
> arcsin (x) = 30
Das kannst Du so nicht schreiben!
(1) folgt aus sin(x) = ... letztlich x = arcsin(...)
(2) ist x in Arcuswerten (RAD-Einstellung des Taschenrechner!) verlangt, nicht in Grad.
Also: sin(x) = 0,5 => [mm] x_{1} [/mm] = arcsin(0,5) = [mm] \bruch{1}{6}*\pi
[/mm]
> Ich verstehe schon, dass 150 auch eine mögliche Lösung ist,
> nur weiss ich nicht, was man machen muss, um das zu
> kriegen.
Analog zu meiner obigen Bemerkung ist die 2.Lösung dann natürlich:
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] bruch{5}{6}*\pi
[/mm]
Wie man die 2. Lösung (bei x [mm] \in \IR [/mm] gibt's ja sogar noch viel mehr!) kriegt, beschreib' ich Dir am besten so:
Du zeichnest Dir die Sinuslinie zwischen 0 und [mm] 2\pi.
[/mm]
In dasselbe KoSy zeichnest Du die (waagechte) Gerade y=0,5.
Die Gleichung sin(x)=0,5 bedeutet anschaulich: Gesucht sind die Schnittstellen zwischen den Graphen von y=sin(x) und y=0,5.
Wenn Du Dir Deine Zeichnung anschaust, merkst Du: Es gibt zwei solche Schnittstellen!
Der Taschenrechner gibt Dir davon nur diejenige aus, die dem Ursprung am nächsten liegt, eben: [mm] \bruch{1}{6}*\pi [/mm] (den Wert nennt man auch "Arcussinus" von 0,5).
Den zweiten Wert musst Du Dir logisch erschließen! Wie Du siehst, liegt er genau soweit LINKS von [mm] \pi [/mm] wie der 1.Wert rechts von 0 liegt, daher gilt allgemein: [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \pi [/mm] - [mm] x_{1}.
[/mm]
(Beim Cosinus gilt dies natürlich nicht! Überleg' Dir mal selbst, wie's dort funzt!)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 15.06.2007 | | Autor: | belf |
Hallo Zwerglein,
danke für die schnelle Antwort. Ich habe es jetzt verstanden, habe aber trotzdem noch eine Unklarheit.
Sagen wir mal x = [0; [mm] \infty [/mm] ] dann folgt x1 = [mm] \pi [/mm] /6 + k [mm] 2\pi [/mm] und x2 = 5 [mm] \pi [/mm] /6 + k [mm] 2\pi [/mm]
Ich glaube, dass das stimmt, oder? Aber trotzdem gibt es eine Art x1 und x2 in einer einzigen Lösung zu vereinbaren?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Fr 15.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Zwerglein,
> danke für die schnelle Antwort. Ich habe es jetzt
> verstanden, habe aber trotzdem noch eine Unklarheit.
> Sagen wir mal x = [0; [mm]\infty[/mm] ] dann folgt x1 = [mm]\pi[/mm] /6 + k
> [mm]2\pi[/mm] und x2 = 5 [mm]\pi[/mm] /6 + k [mm]2\pi[/mm]
> Ich glaube, dass das stimmt, oder? Aber trotzdem gibt es
> eine Art x1 und x2 in einer einzigen Lösung zu
> vereinbaren?
Was genau meinst du damit? Es gibt immer zwei Lösungen:
Einmal deine [mm] x_1=\frac{1}{6}\pi
[/mm]
dann [mm] x_2=\pi-x_1=\frac{5}{6}\pi
[/mm]
Wenn du dann [mm] x\in [0;\infty[ [/mm] setzt, dann wiederholen sich deine Ergebnisse ja alle [mm] 2\pi:
[/mm]
[mm] x_1=\frac{1}{6}\pi+k\cdot2\pi
[/mm]
[mm] x_2=\frac{5}{6}\pi+k\cdot 2\pi
[/mm]
Es gibt ja immer diese beiden Lösungen...
Hier nochmal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Kroni
> Vielen Dank
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
