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Trigonometrie: Halber Winkel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Fr 03.10.2008
Autor: pagnucco

Hallo zusammen,

Habe gerade mir die Formel des Halben Winkels [mm] sin\alpha/2=\wurzel[2]{1-cos\alpha/2} [/mm] mittels Einheitskreis und gleichseitigem Dreieck bewiesen, das hat super geklappt. Jetzt wollte ich das selbe auch für den Kosinus versuchen und es klappt nicht. Hat vielleicht jemand einen Tipp?

Es geht um die Formel: [mm] cos\alpha/2=\wurzel[2]{1+cos\alpha/2} [/mm]

Lg pagnucco

        
Bezug
Trigonometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 Fr 03.10.2008
Autor: Zwerglein

Hi, pagnucco,

vielleicht liegt's daran, dass Du die Klammern vergessen hast?

> Habe gerade mir die Formel des Halben Winkels
> [mm]sin\alpha/2=\wurzel[2]{\red{(}1-cos\alpha\red{)}/2}[/mm] mittels Einheitskreis
> und gleichseitigem Dreieck bewiesen, das hat super
> geklappt. Jetzt wollte ich das selbe auch für den Kosinus
> versuchen und es klappt nicht. Hat vielleicht jemand einen
> Tipp?
>  
> Es geht um die Formel:
> [mm]cos\alpha/2=\wurzel[2]{\red{(}1+cos\alpha\red{)}/2}[/mm]
>  
> Lg pagnucco

mfG!
Zwerglein


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Trigonometrie: Halber Winkel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:30 Fr 03.10.2008
Autor: pagnucco

:-) wenn es das ist, wäre das super. Leider ist es das nicht.

Wenn ich die Formel [mm] cos(\alpha/2)=\wurzel[2]{31+cos(\alpha)/2} [/mm] umforme komme ich auf [mm] cos(\alpha/2)=1+cos(\alpha)/2*cos(\alpha). [/mm] Jetzt weiß ich nicht genau was ich damit anfangen soll.

im ersten Beweis war aus der Skizze klar zu erkennen das die Hypothenuse [mm] =2*sin(\alpha/2) [/mm] ist. und die Gegenkathe the [mm] 1-cos(\alpha), [/mm] was dann mit zwei kleineren umformungen auf die gewünschte Formel führte. Leider geht es nicht, das ich eine Skizze einfüge, aber es ist wirklich nicht schwer die Skizze nachzuvollziehen. Einfach I.Quadrant Einheitskreis, Winkel [mm] \alpha [/mm] zeichnen ca. 80°und Punkt P1 auf Kreis markieren, mit P2(1,0) verbinden, Winkelhalbierende von [mm] \alpha(gleich [/mm] Mittelsenkrechte von P1 P2) und Lot von P1 auf x-Achse mit Punkte P3. Nun ist Winkel P3P1P2= [mm] \alpha/2 [/mm] zu beweisen. Was ja einfach ist, denn Die Gegenkathete ist [mm] 1-cos(\alpha) [/mm] und die Hypothenuse wie bereits erwähnt [mm] 2*sin(\alpha/2). [/mm]

Nur mit Kosinus klappts nicht :-(

Lg pagnucco

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Trigonometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Fr 03.10.2008
Autor: weduwe

wenn du gelten läßt, dass schon bekannt ist:
[mm] sin2\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha [/mm] geht es ganz einfach aus den beiden ähnlichen dreiecken:

[mm] (1+cos2\alpha):sin2\alpha=cos\alpha:sin\alpha [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Trigonometrie: Halber Winkel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Fr 03.10.2008
Autor: pagnucco

Versteh ich leider nicht, also den Zusammenhang meine ich. Sorry :-)

Wie kommst du jetzt darauf? War meine Versuchsbeschreibung so mies?

[url=1] Datei-Anhang [mm] [/C:\Dokumente [/mm] und [mm] Einstellungen\Marco\Desktop] [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Trigonometrie: Halber Winkel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Fr 03.10.2008
Autor: pagnucco

Dateianhang hat leider nicht geklappt glaube ich :-(

Bezug
                                        
Bezug
Trigonometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Fr 03.10.2008
Autor: weduwe


> Versteh ich leider nicht, also den Zusammenhang meine ich.
> Sorry :-)
>  
> Wie kommst du jetzt darauf? War meine Versuchsbeschreibung
> so mies?
>
> [url=1] Datei-Anhang [mm][/C:\Dokumente[/mm] und [mm]Einstellungen\Marco\Desktop][/mm]  



wenn ich verstünde, was du nicht verstehst?

das haben wir doch schon (seinerzeit) am einheitskreis bewiesen:

[mm] sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta+....\to sin2\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha [/mm]

und mit dem zeug von oben hast du damit

[mm] (1+cos2\alpha):sin2\alpha=cos\alpha:sin\alpha [/mm]

[mm] (1+cos2\alpha)=\frac{2\sin\alpha\cdot cos^2\alpha}{sin\alpha}=2cos^2\alpha\to cos\alpha=\sqrt{\frac{1+cos2\alpha}{2}} [/mm]

also genau das, was du zeigen willst
und jetzt sage mir bitte, was du da nicht verstehst.

richtig ist übrigens:

[mm] sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-cos2\alpha}{2}} [/mm]

[mm] cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+cos2\alpha}{2}} [/mm]



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Trigonometrie: Halber Winkel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:29 Sa 04.10.2008
Autor: pagnucco

Hallo, schade das ich euch nicht meine Skizze posten kann, dann wüsstet ihr vielleicht was ich meine. Ist ein wirklich schöner elementar-geometrischer Beweis, bei dem ich halt allerdings bei der Formel [mm] cos(\alpha/2)=\wurzel[2]{1+cos(\alpha)}/2 [/mm] einen kleinen Knoten habe und ihn nicht richtig hinbekomme.

Ich wünsch trotzdem allen noch ein schönes Wochenende :-)

Lg pagnucco

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Trigonometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:40 Sa 04.10.2008
Autor: weduwe


> Hallo, schade das ich euch nicht meine Skizze posten kann,
> dann wüsstet ihr vielleicht was ich meine. Ist ein wirklich
> schöner elementar-geometrischer Beweis, bei dem ich halt
> allerdings bei der Formel
> [mm]cos(\alpha/2)=\wurzel[2]{1+cos(\alpha)}/2[/mm] einen kleinen
> Knoten habe und ihn nicht richtig hinbekomme.
>  
> Ich wünsch trotzdem allen noch ein schönes Wochenende :-)
>  
> Lg pagnucco

wenn ich deine botschaft richtig interpretiere, sollte das so ausschauen

[Dateianhang nicht öffentlich]


nach wie vor  richtig ist allerdings:

[mm] sin\alpha =\sqrt{\frac{1-cos2\alpha}{2}} [/mm] mit [mm] \alpha\to \frac{\alpha}{2} [/mm]
was ja auch aus dem bilderl folgt

und analog der gewünschte beweis für

[mm] cos\alpha=\sqrt{\frac{1+cos2\alpha}{2}} [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Trigonometrie: Halber Winkel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Sa 04.10.2008
Autor: pagnucco

boah! echt klasse :-) hab vielen herzlichen Dank, ganau das hatte ich gemeint. Du bist ein echter Künstler. Perfekt, jetzt hab ich beide geometrischen Beweise. Danke das du mir beim zweiten auf die "zeichnerischen" Sprünge geholfen hast. Bis bald vielleicht mal wieder.

Lg pagnucco

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Trigonometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Fr 03.10.2008
Autor: Disap

Alternativ für [mm] $\alpha$ [/mm] einfach [mm] $\alpha [/mm] + 0.5 [mm] \pi [/mm] $ einsetzen, da ja bekanntlich gilt

[mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \sin(x +0.5*\pi)$ [/mm]

Bezug
        
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Trigonometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Fr 03.10.2008
Autor: abakus


> Hallo zusammen,
>  
> Habe gerade mir die Formel des Halben Winkels
> [mm]sin\alpha/2=\wurzel[2]{1-cos\alpha/2}[/mm] mittels Einheitskreis
> und gleichseitigem Dreieck bewiesen, das hat super
> geklappt. Jetzt wollte ich das selbe auch für den Kosinus
> versuchen und es klappt nicht. Hat vielleicht jemand einen
> Tipp?
>  
> Es geht um die Formel:
> [mm]cos\alpha/2=\wurzel[2]{1+cos\alpha/2}[/mm]
>  
> Lg pagnucco

Hallo,
für einen beliebigen Winkel x (also auch für [mm] \alpha/2) [/mm] gilt [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x = 1
Diese Beziehung wird von
[mm] sin\alpha/2 [/mm] und [mm] cos\alpha/2 [/mm] offensichtlich erfüllt.
Gruß Abakus



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