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| Aufgabe | Berechne die fehlenden Seiten, Winkel und die Höhe des Dreiecks.
Gegeben ist sin alpha (25°) und das Areal [mm] A=50c^m^2 [/mm] |
Also von mir aus denke ich das man A= (g*h)/2 und sin(25)=a/c in Verbinung bringen müsste.
Komme aber so leider nicht weiter.
Vielen dank denen die mir helfen können.
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> Berechne die fehlenden Seiten, Winkel und die Höhe des
> Dreiecks.
> Gegeben ist sin alpha (25°) und das Areal [mm]A=50c^m^2[/mm]
> Also von mir aus denke ich das man A= (g*h)/2 und
> sin(25)=a/c in Verbinung bringen müsste.
> Komme aber so leider nicht weiter.
Wenn tatsächlich nur der Winkel [mm] $\alpha=25^\circ$ [/mm] und der Flächeninhalt [mm] $A=50\mathrm{cm}^2$ [/mm] eines allgemeinen Dreiecks gegeben sind, so ist die Aufgabe unterbestimmt: Du kannst sie nicht eindeutig lösen. Du könntest allerdings eine weitere Grösse, etwa Seite $c$ oder Höhe $h$, als Parameter für die (unendliche) Menge aller Lösungen einführen und so die allgemeine Lösung unter der Annahme bestimmen, dass Dir der Wert dieses zusätzlichen Parameters gegeben ist.
Deine Bemerkung, dass [mm] $\sin(25^\circ)=a/c$ [/mm] sei, lässt allerdings vermuten, dass Du uns die Aufgabenstellung nicht vollständig übermittelt hast: denn diese Beziehung gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck. - Ist also das gesuchte Rechteck als rechtwinklig vorauszusetzen? - Dann gibt es natürlich eine eindeutige Lösung. So gelten im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten $a,b$ und Hypotenuse $c$ die Beziehungen: [mm] $A=\frac{a\cdot b}{2}$ [/mm] und [mm] $a=c\cdot\sin(\alpha)$ [/mm] sowie [mm] $b=c\cdot\cos(\alpha)$. [/mm] Dies sind, bei gegebenem $A$ und [mm] $\alpha$, [/mm] drei Gleichungen für die drei gesuchten Grössen $a,b,c$. Einsetzen der zweiten und dritten Gleichung in die erste Gleichung ergibt eine Gleichung für $c$ alleine. Damit sollte das Eis gebrochen sein..
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Sie ist lösbar, meinte user dozent
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> Sie ist lösbar, meinte user dozent
Es wäre nicht schlecht gewesen, wenn Du uns gleich noch versichert hättest, dass nicht etwa die implizite Voraussetzung gilt, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. In diesem Falle gibt es, wie ich geschrieben habe, eine eindeutige Lösung.
Ist aber ein allgemeines Dreieck zugelassen, so ist die Aufgabe zwar lösbar, aber es gibt unendlich viele Lösungen.
In beiden Fällen hat der Dozent also recht: die Aufgabe ist lösbar - die offene Frage ist nur, ob sie eindeutig lösbar ist oder nicht. Und dies hängt davon ab, ob das Dreieck rechwinklig sein soll oder ob es allgemein sein darf.
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sorry. es ist natürlich rechtwinklig laut der aufgabe.
ich habs vor lauter hin und her mit dieser aufgabe komplett vergessen es zu sagen.
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> sorry. es ist natürlich rechtwinklig laut der aufgabe.
Dann wäre diese Frage also geklärt. Und was meinst Du nun zu dem in meiner ersten Antwort https://www.vorhilfe.de/read?i=331152 skizzierten Lösungsweg für diesen Fall (Gleichungssystem bestehend aus drei Gleichungen für die drei gesuchten Seitenlängen $a,b,c$)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Sa 24.11.2007 | | Autor: | marco-san |
ich habe mühe das umzusetzen.
die aufgabe ist bei uns auch eine der schwersten.
aber vielen dank für deine ansätze, werde mich bemühen, vielleicht finde ich noch was raus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Somebody |
> ich habe mühe das umzusetzen.
> die aufgabe ist bei uns auch eine der schwersten.
> aber vielen dank für deine ansätze, werde mich bemühen,
> vielleicht finde ich noch was raus.
Sind $a,b$ die Katheten, $c$ die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit $a$ gegenüberliegendem Winkel [mm] $\alpha=25^\circ$ [/mm] und Flächeninhalt [mm] $A=50\mathrm{cm}^2$, [/mm] so gelten folgende Gleichungen
[mm]\begin{array}{crclcl}
\text{(1)} & A &=& \frac{a\cdot b}{2}\\
\text{(2)} & a &=& c\cdot\sin(\alpha)\\
\text{(3)} & b &=& c\cdot \cos(\alpha)\\
\multicolumn{6}{l}{\text{Einsetzen von (1) und (2) in (3) ergibt}}\\
\text{(4)} & A &=& \frac{c^2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2}\\
\multicolumn{6}{l}{\text{Durch Auflösen von (4) nach $c$ erhalten wir}}\\
\text{(5)} & c &=& \sqrt{\frac{2A}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} &\approx& 16.2\mathrm{cm}\\
\multicolumn{6}{l}{\text{Einsetzen dieses Wertes von $c$ in (1) bzw. (2) liefert}}\\
\text{(1')} &a &\approx & 6.8\mathrm{cm}\\
\text{(2')} &b &\approx & 14.6\mathrm{cm}
\end{array}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 24.11.2007 | | Autor: | marco-san |
Das Dreieck ist ja rechtwinklig und deshalb hat man auch beta 90°
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Somebody |
> Das Dreieck ist ja rechtwinklig und deshalb hat man auch
> beta 90°
Davon, dass [mm] $\beta=90^\circ$ [/mm] sei, steht in der Aufgabenstellung, die Du uns beschrieben hast, kein Wort. Wie wärs, endlich eine vollständige und vollständig richtige Aufgabenstelllung zu liefern?
Falls also das Dreieck rechtwinklig sein soll, gibt es eine eindeutige Lösung, wie ich bereits geschrieben habe. Nur ist in meiner Lösungsskizze die Benennung des Dreiecks anders gewählt: ich hatte angenommen, dass der der Seite $c$ gegenüberliegende Winkel [mm] $\gamma=90^\circ$ [/mm] ist (andernfalls wäre ja auch die von Dir angeführte Beziehung [mm] $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$ [/mm] falsch). Daher musst Du die Benennung in den dort angegebenen Bestimmungsgleichungen für $a,b,c$ entsprechend anpassen.
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