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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 09.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Hallo!
Hab mal eine Frage zur Trigonalisierung einer 3x3 Matrix.
Ich habe gerade mein charakt. Polynom ausgerechnet und den Eigenwert und den dazugehörigen -vektor. Jetzt soll ich diesen zu einer Basis [mm] {v_{1},...,v_{n}} [/mm] ergänzen. Das verstehe ich nicht. Wie macht man das? Heißt dass, dass n=3 ist, da meine Matrix 3x3 ist? Und wenn mein Eigenvektor so ausschaut: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] bzw. [mm] x_{1}=x_{3} [/mm] sein muss und [mm] x_{2}=1. [/mm] Schaut meine Basis dann so aus: [mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 2},\vektor{3 \\ 1 \\ 3}}?
[/mm]
Und bei einem anderen Beispiel lässt sich das Polynom nicht in Linearfaktoren zerlegen, heißt das, dass die Matrix nicht trigonalisierbar ist? Oder kann man t³-6t²+12t-8 irgendwie zerlegen??
Ich weiß, das sind viele Fragen. Würde mich über Hilfe freuen.
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Hallo mary-ann,
> Hallo!
> Hab mal eine Frage zur Trigonalisierung einer 3x3 Matrix.
> Ich habe gerade mein charakt. Polynom ausgerechnet und den
> Eigenwert und den dazugehörigen -vektor. Jetzt soll ich
> diesen zu einer Basis [mm]{v_{1},...,v_{n}}[/mm] ergänzen. Das
> verstehe ich nicht. Wie macht man das? Heißt dass, dass n=3
> ist, da meine Matrix 3x3 ist? Und wenn mein Eigenvektor so
Ja.
> ausschaut: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] bzw. [mm]x_{1}=x_{3}[/mm] sein muss
> und [mm]x_{2}=1.[/mm] Schaut meine Basis dann so aus: [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 2},\vektor{3 \\ 1 \\ 3}}?[/mm]
>
> Und bei einem anderen Beispiel lässt sich das Polynom nicht
> in Linearfaktoren zerlegen, heißt das, dass die Matrix
> nicht trigonalisierbar ist? Oder kann man t³-6t²+12t-8
> irgendwie zerlegen??
[mm]t^{3}-6t^{2}+12t-8=\left(t-2\right)^{3}[/mm]
>
> Ich weiß, das sind viele Fragen. Würde mich über Hilfe
> freuen.
Wir wählen jetzt eine vorläufige Basis
[mm]B_{1}=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}[/mm]
Nun berechnest Du
[mm]B_{1}^{-1}AB_{1}=\pmat{2 & t_{12} & t_{13} \\ 0 & t_{22} & t_{23} \\ 0 & t_{32} & t_{33}}[/mm]
,wobei A die Matrix ist, die trigonalisiert werden soll.
Dann wird die Matrix [mm]\pmat{t_{22} & t_{23} \\ t_{32} & t_{33}}[/mm] betrachtet.
Von dieser Matrix berechnest Du wieder einen Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Dies ist dann der 2. Basisvektor der Basis [mm]B_{1}[/mm]
Gruß
MathePower
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