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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Defintion der Diagonalisierbarkeit (Trigonalisierbarkeit) von Matrizen und Endomorphismen.
Also eine Matrix A heißt ja diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix D ähnlich ist, wenn ich also eine invertierbare Matrix S finde, so dass [mm] D=S*A*S^{-1}.
[/mm]
Was ich nicht so ganz verstehe, ist die Defintion eines diagonalisierbaren Endomorphismus f.
In meiner Vorlesungsmitschrift und meinem Buch steht, dass f diagonalisierbar ist, wenn die f beschreibende Matrix diagonalisierbar ist, wenn die f beschreibende Matrix also ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix.
Bei Wikipedia steht aber z.B., dass f diagonalisierbar ist, wenn die f beschreibende Matrix selbst eine Diagonalmatrix ist.
Aber das ist doch ein Unterschied, oder?
Eine Matrix muss doch nicht selbst auch Diagonalform haben, um zu einer Diagonalmatrix ähnlich zu sein, oder?
Welche Defintion ist dann die richtige?
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo zusammen!
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> Ich habe eine Frage zur Defintion der Diagonalisierbarkeit
> (Trigonalisierbarkeit) von Matrizen und Endomorphismen.
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> Also eine Matrix A heißt ja diagonalisierbar, wenn sie zu
> einer Diagonalmatrix D ähnlich ist, wenn ich also eine
> invertierbare Matrix S finde, so dass [mm]D=S*A*S^{-1}.[/mm]
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> Was ich nicht so ganz verstehe, ist die Defintion eines
> diagonalisierbaren Endomorphismus f.
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> In meiner Vorlesungsmitschrift und meinem Buch steht, dass
> f diagonalisierbar ist, wenn die f beschreibende Matrix
> diagonalisierbar ist, wenn die f beschreibende Matrix also
> ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix.
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> Bei Wikipedia steht aber z.B., dass f diagonalisierbar ist,
> wenn die f beschreibende Matrix selbst eine Diagonalmatrix
> ist.
Ich zitiere aus Wikipedia:
"Eine beliebige quadratische Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix D gibt, zu der sie ähnlich ist.
Für eine lineare Abbildung (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis B existiert, bei der die Darstellungsmatrix eine Diagonalmatrix ist."
Hier steht nicht direkt, dass die darstellende Matrix von f eine Diagonalmatrix sein muss. Doch wenn jetzt die darstellende Matrix von f ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, dann bedeutet dies gerade, dass eine Basis so ausgewählt werden kann, dass die darstellende Matrix tatsächlich Diagonalform besitzt, denn was bedeutet Ähnlichkeit? ;)
Es ist also schon richtig, dass eine Matrix zu einer Diagonalmatrix ähnlich sein muss!
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> Aber das ist doch ein Unterschied, oder?
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> Eine Matrix muss doch nicht selbst auch Diagonalform haben,
> um zu einer Diagonalmatrix ähnlich zu sein, oder?
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> Welche Defintion ist dann die richtige?
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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