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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Do 07.02.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung [mm] f\in\mathcal C^1(\IR) [/mm] der Differentialgleichung [mm] f'(t)=3t^{2}f(t) [/mm] mit Hilfe der Trennung der Veränderlichen. |
Hi Leute,
kann mir wer bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß nicht so recht wie das funktioniert und hab bisher keinen gefunden der mir das erklären kann. Wer mag kann mir das auch versuchen an einem Beispiel zu zeigen, vielleicht verstehe ich das dann. Ich bin für jede Hilfe dankbar. 
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Hallo chipbit,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung [mm]f\in\mathcal C^1(\IR)[/mm]
> der Differentialgleichung [mm]f'(t)=3t^{2}f(t)[/mm] mit Hilfe der
> Trennung der Veränderlichen.
> Hi Leute,
> kann mir wer bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß nicht so
> recht wie das funktioniert und hab bisher keinen gefunden
> der mir das erklären kann. Wer mag kann mir das auch
> versuchen an einem Beispiel zu zeigen, vielleicht verstehe
> ich das dann. Ich bin für jede Hilfe dankbar.
es ist etwas praktischer, wenn Du erst einmal umformulierst:
[mm]f'(t)=3t^{2}*f(t)[/mm]
[mm]\dot y=3t^{2}*y[/mm]
[mm] $\bruch{dy}{dt} [/mm] = [mm] 3t^2*y$
[/mm]
Jetzt, wie der Name schon sagt, die Variablen separieren; d. h., alle y auf eine Seite, auf die andere alle t:
[mm] $\bruch{1}{y}*dy [/mm] = [mm] 3t^2*dt$
[/mm]
Dann integrieren:
[mm] $\integral \bruch{1}{y}\;dy [/mm] = [mm] \integral 3t^2\;dt$
[/mm]
$ln|y| = [mm] t^3+ln|C|$
[/mm]
,nun den ln auflösen, mit [mm] e^{ln|C|} [/mm] = |C|
$|y| = [mm] e^{t^3}*|C|$
[/mm]
, dann die Betragsstriche auflösen
$y = [mm] C*e^{t^3}$
[/mm]
und fertig ist die Lösung der DGL.
Eine elementare Einführung in DGL's findest Du z. B. in L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. II. Steht bestimmt in jeder Uni-Bibliothek.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Do 07.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Mh, das ich da nicht selber drauf gekommen bin...
Ich danke dir!! Zumindest kann ich das ziemlich gut nachvollziehen! Ich denke ich werde mir das Buch mal ausleihen und ansehen, kann ja nichts schaden
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