Trennung der Variablen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Do 26.07.2007 | | Autor: | Phecda |
hi ich hab eine frage bei der Separationsmethode einer Dgl.
--> 1/g(y)*dy=f(x)*dx
das ist soweit klar. beide seiten werden dann integriert.
Bei der Integration entsteht doch aber immer eine Integrationskonstante:
G(y)-F(x)=c
Wie löse ich nun dieses AWP. In meiner schlauen lektüre steht. Falls [mm] g(y0)\not= [/mm] 0, c0 := G(y0)-F(x0) berechnen.
Falls g(y0)=0 dann ist y(x)=y0 Lösung.
Mit dieser Fallunterscheidung kann ich nicht so recht viel anfangen. Kann mirjmd erklären wie man denn ganz konkrett diese Integrationskonstante bestimmt.?
Vllt mit einem bsp. aus der Mechanik oder einem ganz normalen Bsp.
Wäre echt sau stark ;)
vielen dank
mfg phecda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Do 26.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Phecda!
> hi ich hab eine frage bei der Separationsmethode einer
> Dgl.
> --> 1/g(y)*dy=f(x)*dx
> das ist soweit klar. beide seiten werden dann integriert.
> Bei der Integration entsteht doch aber immer eine
> Integrationskonstante:
> G(y)-F(x)=c
> Wie löse ich nun dieses AWP. In meiner schlauen lektüre
> steht. Falls [mm]g(y0)\not=[/mm] 0, c0 := G(y0)-F(x0) berechnen.
> Falls g(y0)=0 dann ist y(x)=y0 Lösung.
> Mit dieser Fallunterscheidung kann ich nicht so recht viel
> anfangen.
Ich nehme an, dass die DGL ursprünglich die Form
[mm]\bruch{dy}{dx} = f(x)g(y)[/mm]
hatte. Um die Variablen zu trennen, musst du durch g(y) dividieren, und das darfst du natürlich nur, wenn überall [mm]g(y)\not=0[/mm] ist. Deswegen die Fallunterscheidung.
> Kann mirjmd erklären wie man denn ganz konkrett
> diese Integrationskonstante bestimmt.?
> Vllt mit einem bsp. aus der Mechanik oder einem ganz
> normalen Bsp.
Beispiel: [mm]y' = x*(1+y^2)[/mm], y(0) = 1.
f(x)=x, [mm]g(y)=1+y^2\not=0\quad \forall y[/mm].
[mm] \Rightarrow \bruch{dy}{1+y^2} = xdx \Rightarrow \arctan y = \bruch{x^2}{2} + C [/mm].
Wenn du die Anfangsbedingung einsetzt, hast du: [mm] \arctan 1 = C \Rightarrow C= \pi/4[/mm].
Also ist die Lösung [mm] y= \tan(\bruch{x^2}{2} + \bruch{\pi}{4})[/mm].
Hilft dir das weiter?
Grüße
Rainer
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