Trennung d. Veränderlichen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ich hab den fehler grad gefunden. ich muss bei der trenung der veränderlichen [mm] \bruch{dx}{dt}=tx [/mm] rechnen.
x'-t*x=2t
dies ist eine lineare inhomogene DGL 1.Ordnung (ob man 1.Ordnung oder 1.Grades schreibt, ist doch egal oder?)
Lösungsmöglichkeiten:
homogene Lösung: "Trennung d. Veränderlichen", "Trennung d.Veränderlichen (Formel)"
partikuläre Lösung: "Variation d.Konstanten", "Ansatzmethode", "Aufsuchen einer partikulären Lösung"
Homogene Lösung:
Trennung der Veränderlichen:
[mm] \bruch{dx}{dt}=xt+2t
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dt}=t*(x+2)
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x+2}dx}=\integral{t dt}
[/mm]
[mm] ln|x+2|=\bruch{1}{2}t^2+ln|C|
[/mm]
[mm] x+2=e^{\bruch{1}{2}t^2+ln|C|}
[/mm]
[mm] x=e^{\bruch{1}{2}t^2}*C-2 [/mm]
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Trennung der Veränderlichen (Formel)
da es sich um eine lineare inhomogene DGL 1.Ordnung handelt kann ich auch die formel verwenden.
[mm] x=C*e^{-\integral{f(t)dt}}
[/mm]
[mm] x=C*e^{-\integral{-t dt}}
[/mm]
[mm] x=C*e^{\bruch{1}{2}t^2} [/mm]
somit unterscheidet sich das ergebnis von vorhin mit diesen um die -2 , doch bin ich der meinung das ersteres ergebnis richtig ist. das zweite ergebnisse müsste aber genau gleich sein, aber wieso ist es das nicht?
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Hallo BlubbBlubb,
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> ich hab den fehler grad gefunden. ich muss bei der trenung
> der veränderlichen [mm]\bruch{dx}{dt}=tx[/mm] rechnen.
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> x'=xt+2t
> x'-t*x=2t
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> dies ist eine lineare inhomogene DGL 1.Ordnung (ob man
> 1.Ordnung oder 1.Grades schreibt, ist doch egal oder?)
Jo.
>
> Lösungsmöglichkeiten:
>
> homogene Lösung: "Trennung d. Veränderlichen", "Trennung
> d.Veränderlichen (Formel)"
>
> partikuläre Lösung: "Variation d.Konstanten",
> "Ansatzmethode", "Aufsuchen einer partikulären Lösung"
>
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> Homogene Lösung:
>
> Trennung der Veränderlichen:
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> [mm]\bruch{dx}{dt}=xt+2t[/mm]
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}=t*(x+2)[/mm]
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> [mm]\integral{\bruch{1}{x+2}dx}=\integral{t dt}[/mm]
>
> [mm]ln|x+2|=\bruch{1}{2}t^2+ln|C|[/mm]
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> [mm]x+2=e^{\bruch{1}{2}t^2+ln|C|}[/mm]
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> [mm]x=e^{\bruch{1}{2}t^2}*C-2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Trennung der Veränderlichen (Formel)
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> da es sich um eine lineare inhomogene DGL 1.Ordnung handelt
> kann ich auch die formel verwenden.
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> [mm]x=C*e^{-\integral{f(t)dt}}[/mm]
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> [mm]x=C*e^{-\integral{-t dt}}[/mm]
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> [mm]x=C*e^{\bruch{1}{2}t^2}[/mm]
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> somit unterscheidet sich das ergebnis von vorhin mit diesen
> um die -2 , doch bin ich der meinung das ersteres ergebnis
> richtig ist. das zweite ergebnisse müsste aber genau gleich
> sein, aber wieso ist es das nicht?
>
Die Formel, die Du da angegeben hast, ist nur die für die homogene DGL.
Für die inhomogene Lösung der DGL gilt meines Wissens diese:
[mm]x\left(t\right)=e^{-\integral_{}^{}{-t \ dt}}* \left\{C+\integral_{}^{}{2t e^{\integral_{}^{}{-t \ dt}}\ dt}\right\}[/mm]
Gruß
MathePower
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> Hallo BlubbBlubb,
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> > ich hab den fehler grad gefunden. ich muss bei der trenung
> > der veränderlichen [mm]\bruch{dx}{dt}=tx[/mm] rechnen.
> >
> > x'=xt+2t
> > x'-t*x=2t
> >
> > dies ist eine lineare inhomogene DGL 1.Ordnung (ob man
> > 1.Ordnung oder 1.Grades schreibt, ist doch egal oder?)
>
>
> Jo.
>
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> >
> > Lösungsmöglichkeiten:
> >
> > homogene Lösung: "Trennung d. Veränderlichen", "Trennung
> > d.Veränderlichen (Formel)"
> >
> > partikuläre Lösung: "Variation d.Konstanten",
> > "Ansatzmethode", "Aufsuchen einer partikulären Lösung"
> >
> >
> > Homogene Lösung:
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> > Trennung der Veränderlichen:
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> > [mm]\bruch{dx}{dt}=xt+2t[/mm]
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> > [mm]\bruch{dx}{dt}=t*(x+2)[/mm]
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> > [mm]\integral{\bruch{1}{x+2}dx}=\integral{t dt}[/mm]
> >
> > [mm]ln|x+2|=\bruch{1}{2}t^2+ln|C|[/mm]
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> > [mm]x+2=e^{\bruch{1}{2}t^2+ln|C|}[/mm]
> >
> > [mm]x=e^{\bruch{1}{2}t^2}*C-2[/mm]
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> > Trennung der Veränderlichen (Formel)
> >
> > da es sich um eine lineare inhomogene DGL 1.Ordnung handelt
> > kann ich auch die formel verwenden.
> >
> > [mm]x=C*e^{-\integral{f(t)dt}}[/mm]
> >
> > [mm]x=C*e^{-\integral{-t dt}}[/mm]
> >
> > [mm]x=C*e^{\bruch{1}{2}t^2}[/mm]
> >
> > somit unterscheidet sich das ergebnis von vorhin mit diesen
> > um die -2 , doch bin ich der meinung das ersteres ergebnis
> > richtig ist. das zweite ergebnisse müsste aber genau gleich
> > sein, aber wieso ist es das nicht?
> >
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> Die Formel, die Du da angegeben hast, ist nur die für die
> homogene DGL.
>
> Für die inhomogene Lösung der DGL gilt meines Wissens
> diese:
>
> [mm]x\left(t\right)=e^{-\integral_{}^{}{-t \ dt}}* \left\{C+\integral_{}^{}{2t e^{\integral_{}^{}{-t \ dt}}\ dt}\right\}[/mm]
>
>
> Gruß
> MathePower
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ich glaube meine lösung mittels "trennung der variablen (ohne formel)" ist falsch wie sie da steht, wo du ein "ok" drunter gezeichnet hast, denn wenn ich das richtig verstanden habe betrachtet man bei der trennung der variablen nur den homogenen anteil also x'-t*x=0.
das heißt die "trennung der variablen" bzw "trennung der variablen(formel)" liefert mir immer nur die homogene lösung, die partikuläre müsste ich noch zusätzlich ausrechnen mit der "ansatzmethode" bzw mit "aufsuchen einer partikulären lösung".
Verwende ich die "Variation der Konstanten (für die homogene gleichung)" so muss ich vorher mittels "trennung der varialben" oder mittels "trennunge der variablen (formel)" eine homogene lösung berechnen.
Das Ergebnis aus "Variation der Konstanten (für die homogene gleichung)" liefert mir dann gleich die allgemeine lösung.
verwende ich die "variation der konstanten (für die inhomogene gleichung)" so kann ich gleich in einem schritt die allgemeine lösung berechnen ohne vorher eine homogene lösung bzw.partikuläre lösung zu berechnen.
x'=xt+2t
x'-t*x =2t
x'+g(t)*x=h(t)
dies ist eine lineare inhomogene DGL. 1.Ordnung
Lösungsmethoden:
für die homoge Lösung:
"Trennung der Variablen"
"Trennung der Variablen (mit Formel)"
für die partikuläre Lösung:
"Variation d. Konstanten (für die homogene DGL)"
"Ansatzmethode"
"Aufsuchen einer partikulären Lösung"
für die allgemeine Lösung ohne vorher einzeln die homogene und partikuläre Lösung berechnet zu haben:
"Variation d. Konstanten (für die inhomogene DGL)"
Homogene DGL:
x'-t*x=0
"Trennung der Veränderlichen":
[mm] \bruch{dx}{dt}=t*x
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}=\integral{t*dt}
[/mm]
[mm] ln|x|=\bruch{1}{2}t^2+ln|C|
[/mm]
[mm] x_h=e^{\bruch{1}{2}t^2}*C
[/mm]
"Trennung d.Veränderlichen (Formel)":
diese formel ist nur anwendbar für lineare DGL 1.Ordnung.
[mm] x=C*e^{-\integral{f(t)dt}}
[/mm]
[mm] x=C*e^{-\integral{-tdt}}
[/mm]
[mm] x=C*e^{\bruch{1}{2}t^2} [/mm]
partikuläre Lösung
"Ansatzmethode"(geht nicht immer, aber keine ahnung woran man erkennt wann sie geht wann nicht):
x'-t*x=2t
Bemerkung: Potenzen im Ansatz müssen von der höchsten Potenz im Störglied beginnend vollständig sein!
[mm] x_p(t)=\alpha_0+\alpha_1*t
[/mm]
[mm] x'_p(t)=\alpha_1
[/mm]
einsetzen von [mm] x_p(t) [/mm] und x'_p(t) in die DGL:
[mm] \alpha_1-t*\alpha_0 -\alpha_1*t^2=2t
[/mm]
Bestimmung der Koeffizienten:
[mm] t^0: \alpha_1=0
[/mm]
[mm] t^1: -\alpha_0=2 \rightarrow \alpha_0=-2
[/mm]
[mm] t^2: -\alpha_1=0
[/mm]
einsetzen von [mm] \alpha_0 [/mm] und [mm] \alpha_1 [/mm] in den Ansatz:
[mm] x_p(t)=\alpha_0+\alpha_1*t=-2 [/mm]
"Aufsuchen einer partikulären Lösung":
Tabelle Papula S.265
Störfunktion:Lineare Funktion
[mm] Lösungsansatz:x_p=c_1*t+c_0 [/mm]
(weiter genau so wie bei der ansatzmethode.
lösung dieselbe wie bei der ansatzmethode.)
"Variation d.Konstanten (für homogene DGL )
(KOMMENTAR:ich finden die überschrift "für homogene DGL" irgendwie unpassend, weil die Variation d.Konstanten wird doch nur verwendet um die partikuläre lösung zu bestimmen, und eine homogen DGL hat keine partikuläre Lösung. ein weiteres problem ist wenn ich eine inhomogene DGL habe warum liefert mir die variation der konstanten gleich die allgemeine lösung und nicht einfach nur die partikuläre lösung so dass ich dann im weiteren schritt rechnen könnte [mm] x(t)=x(t)_h+x(t)_p")
[/mm]
vorher muss mit der "trennung der variablen" oder mit der "trennung der variablen (formel)" die homogene lösung bestimmt werden. diese lautet:
[mm] x=e^{\bruch{1}{2}t^2}*C [/mm]
C [mm] \rightarrow [/mm] C(x)
[mm] x=e^{\bruch{1}{2}t^2}*C(x) [/mm]
[mm] x'(x)=e^{\bruch{1}{2}t^2}*t*C(x)+x=e^{\bruch{1}{2}t^2}*C'(x)
[/mm]
einsetzen x und x' in die DGL:
[mm] C'(x)=\integral{2t*e^{-\bruch{1}{2}t^2}dt} [/mm]
Substitution:
[mm] z=-\bruch{1}{2}t^2
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dt}=-t
[/mm]
[mm] dt=-\bruch{dz}{t}
[/mm]
[mm] C(x)=\integral{2t*e^z+\bruch{dz}{-t}}=-2e^z+K
[/mm]
Rücksubstitution:
[mm] C(x)=-2e^{-\bruch{1}{2}t^2}+K
[/mm]
einsetzen von C(x) in [mm] x=e^{\bruch{1}{2}t^2}*C(x):
[/mm]
[mm] x=e^{\bruch{1}{2}t^2}*(-2*e^{-\bruch{1}{2}t^2}+K)=e^{\bruch{1}{2}t^2} [/mm] -2(dies ist die allgemeine lösung, wo ist denn die partikuläre lösung?)
"Variation d.Konstanten (für inhomogene DGL)":
x'-t*x=2t
x'+P(t)*x=Q(t)
[mm] x(t)=e^{-\integral{P(t)dt}}*(C+\integral{Q*e^{\integral{P(t)dt}}}dt)
[/mm]
alles eingesetzt (es kommt wieder ein integral vor wo man substituieren muss wie eben auch,genau das gleiche integral) kommt heraus:
[mm] x(t)=Ce^{\bruch{1}{2}t^2}-2 [/mm]
dies ist die allgemeine lösung, das heißt man sieht hier wieder weder die homogen noch die partikuläre lösung sondern gleich alles insgesamt.
bzw. ich weiß dass die partikuläre lösung die -2 ist und die homoge der andere teil aber nur dadurch, weil ich die allgemeine lösung weiter oben ja schon auf verschiedenen weisen ausgerechnet hab sonst würd ich das nicht erkennen. zumindest nicht bei komplizierter aussenden allgemeinen lösungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich hab mir nicht durchgelesen was du geschrieben hast im letzten Post, aber die Lösung, die du im ersten Post mit "Trennung der Variablen" gefunden hast, ist absolut richtig (also [mm]x=e^{\bruch{1}{2}t^2}\cdot{}C-2[/mm]).
"Trennung der Variablen" hat nix mit homogen oder inhomogen zu tun. Wenn du die Differentialgleichung in der Form [mm] \frac{dx}{dt}=h(x)*g(t) [/mm] aufschreiben kannst, dann führt "Trennung der Variablen" immer zum richtigen Ergebniss.
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> Ich hab mir nicht durchgelesen was du geschrieben hast im
> letzten Post, aber die Lösung, die du im ersten Post mit
> "Trennung der Variablen" gefunden hast, ist absolut richtig
> (also [mm]x=e^{\bruch{1}{2}t^2}\cdot{}C-2[/mm]).
>
> "Trennung der Variablen" hat nix mit homogen oder inhomogen
> zu tun. Wenn du die Differentialgleichung in der Form
> [mm]\frac{dx}{dt}=h(x)*g(t)[/mm] aufschreiben kannst, dann führt
> "Trennung der Variablen" immer zum richtigen Ergebniss.
ja gut aber ich habe ja stehen:
x'=xt+2t
x'-t*x =2t
x'+g(t)*x=h(t)
das bedeutet da steht
[mm] \bruch{dx}{dt}=h(t)-g(t)*x
[/mm]
und das ist ja nicht:
[mm] \bruch{dx}{dt}=h(x)*g(t) [/mm]
deshalb ist das ja denk ich falsch. darum kann man mit der trennung der veränderlichen nur die homogene lösung bestimmen, weil dann hab ich ja die form:
x'-t*x =0
x'=t*x
[mm] \bruch{dx}{dt}=h(x)*g(t) [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Sa 30.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
In deinem Spezialfall kann man ja t=h(t)/2 ausklammern und dann kannst du die Variablen trennen un kommst sofort auf die richtige vollstaendige allgemeine Loesung.
Dein anderer Weg, 1. homogene, dann inhomogene loesen ist in diesem Fall auch richtig, aber unnoetig umstaendlich.
dass die -2 ne partikulaere Loesung ist, sieht man durch einsetzen!
Gruss leduart
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