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Forum "Extremwertprobleme" - Trapez, max. Fläche
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Trapez, max. Fläche: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Do 11.06.2015
Autor: Noobig

Aufgabe
Die Aufgabe beinhaltet ein Trapez unterhalb einer Parabel.

Der Querschnitt wird durch den Graphen der Fkt. -0,25x²+1 mit den jeweiligen Nullstellen -2 und 2 beschrieben.

Die Höhe h (die Senkrechte in der Mitte des Trapezes) sei so gewählt, dass der Flächeninhalt max. wird.

Guten Tag, liebe Gemeinde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe mich etwas durch das Forum und Internet gelesen, aber noch nichts endgültiges gefunden, was mich zu diesem Post verleitet.

Ich bin an einer Mathe-Aufgabe hängengeblieben und werde mein Glück mit der Kompetenz aus diesen Forumen jetzt probieren. Vielleicht findet der ein oder andere wohl etwas.

Ich habe vorab Folgende Ansätze:

A = 0,5 (a+c)*h
h=f(x)
a =4
c = 2x ODER 4 -2x ?

eingesetzt (mit c =2x) :

A = 0,5x² + 2 -0,25x³ +x

A' = - 3/4x² - x +1

pq ---> x² +4/3x -4/3 -----> x1 = 2/3 ; x2= -2

Wie geht es weiter? Ist soweit alles richtig? Wie ist mein c zu wählen und vor allem warum ist h= f(x)?

Vielen Dank im voraus!
        
Bezug
Trapez, max. Fläche: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Do 11.06.2015
Autor: Roadrunner

Hallo Noobig,

[willkommenmr] !!


> Die Höhe h (die Senkrechte in der Mitte des Trapezes) sei
> so gewählt, dass der Flächeninhalt max. wird.

[laugh] Die Höhe darf aber auch ruhig außermittig gemessen werden.


> Ich habe vorab Folgende Ansätze:
>  
> A = 0,5 (a+c)*h   [ok]

> h=f(x)  [ok]

> a =4  [ok]

> c = 2x ODER 4 -2x ?

Das kommt darauf an, wie Du Dir Dein $x_$ definierst.
Eindeutig einfacher ist es jedoch mit $c \ = \ 2x$ .

  
> eingesetzt (mit c =2x) :
>  
> A = 0,5x² + 2 -0,25x³ +x

Hier hat sich ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen:

$A(x) \ = \ [mm] \red{-}\bruch{1}{2}*x^2+2-\bruch{1}{4}*x^3+x$ [/mm]



> A' = - 3/4x² - x +1

Hier stimmt es wieder. [ok]

  
> pq ---> x² +4/3x -4/3

Das hier ist ungeneau formuliert/geschrieben, denn das ist keine Gleichung sondern nur noch ein Term.

[mm] $x^2+\bruch{4}{3}*x-\bruch{4}{3} [/mm] \ [mm] \red{= \ 0}$ [/mm]


> -----> x1 = 2/3 ; x2= -2 [ok]

  
> Wie geht es weiter? Ist soweit alles richtig?

Sieht bis auf einige kleinere Anmerkungen (s.o.) ganz gut aus. [ok]

Nun musst Du noch überprüfen, ob bzw. um welche Form von Extremum es sich bei diesen beiden ermittelten Kandidaten handelt.

Dafür bietet sich das hinreichende Kriterium mit der 2. Ableitung an.


> Wie ist mein c zu wählen
> und vor allem warum ist h= f(x)?

Mache Dir am besten eine entsprechende Skizze! Das sollte bei derartigen Aufgaben auch der erste Schritt sein.
Daraus sollte sich dann dieser Zusammenhang $h \ = \ f(x)$ erkennen lassen.


Gruß vom
Roadrunner
Bezug
                
Bezug
Trapez, max. Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Do 25.06.2015
Autor: Noobig

Laut Skizze ist h eine Senkrechte. Die Funktion allerdings lautet -0,25x²+1. Daher verstehe ich nicht wie man die Funktion für "h" annehmen kann.

Bezug
                        
Bezug
Trapez, max. Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Do 25.06.2015
Autor: chrisno


> Laut Skizze ist h eine Senkrechte. Die Funktion allerdings
> lautet -0,25x²+1. Daher verstehe ich nicht wie man die
> Funktion für "h" annehmen kann.

$f(x) = [mm] -0,25x^2+1$ [/mm] ist die Funktion. In diese werden alle möglichen Werte für x eingesetzt. Die Wertepaare f(x);x eingezeichnet ergeben die Parabel.
h ist die Höhe des Trapezes. Dabei wird das Trapez so gelegt, dass seine Eckpunkte auf der Parabel liegen. Die oberen Ecken des Trapezes haben also die Koordinaten h;x. Da diese Ecken auf der Parabel liegen, haben sie gleichzeitig die Koordinaten f(x);x. Also ist h=f(x), aber nur für den richtigen Wert von x!

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