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| Aufgabe | Seien $n$ nat"urliche Zahlen und [mm] $k\in\{0,1,...,n-1\}$.
[/mm]
Sei [mm] $\alpha\ne [/mm] 0$ eine beliebige algebraische Zahl. Zeigen Sie die Transzendenz der komplexen Zahl
[mm] \omega:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{nj+k}}{(nj+k)!}
[/mm]
Tipp: Stellen Sie [mm] $\omega$ [/mm] als Linearkombination der Zahlen [mm] $e^\alpha,e^{\rho\alpha},...,e^{\rho^{n-1}\alpha}$ [/mm] dar. Wobei [mm] $\rho=exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)$ [/mm] |
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Hallo zusammen!
Ich scheitere bei der Aufgabe an der Darstellung von [mm] $\omega$ [/mm] als Linearkombi der Zahlen [mm] e^\alpha,e^{\rho\alpha},...,e^{\rho^{n-1}\alpha}.
[/mm]
Folgendes hab ich mal gemacht:
1.) [mm] $\alpha\ne [/mm] 0$ sei eine beliebige algebraische Zahl, d.h. es gibt ein Polynom mit folgender Eigenschaft
[mm] P(\alpha)=a_0\cdot\alpha^0+a_1\cdot \alpha^1+...+a_n\cdot \alpha^n=0
[/mm]
mit rationalen Koeffizienten [mm] $a_k \in [/mm] Q$, $k=0,...,n$.
2.) Sei $n=2$ und $k=0$ so ergibt sich f"ur [mm] $\omega$
[/mm]
[mm] \omega_{k=0}:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{2j}}{(2j)!}=\frac{\alpha^{0}}{0!}+\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{4}}{4!}+\frac{\alpha^{6}}{6!}+...
[/mm]
Sei $n=2$ und $k=1$ so ergibt sich f"ur [mm] $\omega$ [/mm]
[mm] \omega_{k=1}:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{2j+1}}{(2j+1)!}=\frac{\alpha^{1}}{1!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+\frac{\alpha^{5}}{5!}+\frac{\alpha^{7}}{7!}+...
[/mm]
Die Exponentialreihe ist definiert als
[mm] exp(\alpha)=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^j}{j!}=\frac{\alpha^{0}}{0!}+\frac{\alpha^{1}}{1!}+\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+\frac{\alpha^{4}}{4!}+...
[/mm]
Es ergibt sich daher f"ur $n=2$
[mm] exp(\alpha)=\omega_{k=0}+\omega_{k=1}
[/mm]
Sei $n=3$ und $k=0$ so ergibt sich f"ur [mm] $\omega$
[/mm]
[mm] \omega_{k=0}:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{3j}}{(3j)!}=\frac{\alpha^{0}}{0!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+\frac{\alpha^{6}}{6!}+\frac{\alpha^{9}}{9!}+...
[/mm]
Sei $n=3$ und $k=1$ so ergibt sich f"ur [mm] $\omega$ [/mm]
[mm] \omega_{k=1}:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{3j+1}}{(3j+1)!}=\frac{\alpha^{1}}{1!}+\frac{\alpha^{4}}{4!}+\frac{\alpha^{7}}{7!}+\frac{\alpha^{10}}{10!}+...
[/mm]
Sei $n=3$ und $k=2$ so ergibt sich f"ur [mm] $\omega$ [/mm]
[mm] \omega_{k=2}:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{3j+2}}{(3j+2)!}=\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{5}}{5!}+\frac{\alpha^{8}}{8!}+\frac{\alpha^{11}}{11!}+...
[/mm]
Es ergibt sich daher f"ur $n=3$
[mm] exp(\alpha)=\omega_{k=0}+\omega_{k=1}+\omega_{k=2}
[/mm]
Daraus kann gefolgert werden, dass
[mm] exp(\alpha)&=\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k\\\\
[/mm]
[mm] exp(\alpha)&=\sum_{k=0}^{n-1} \sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{nj+k}}{(nj+k)!}\\
[/mm]
Wie ich das jetzt als als Linearkombi der Zahlen [mm] e^\alpha,e^{\rho\alpha},...,e^{\rho^{n-1}\alpha} [/mm] darstellen soll, weiß ich nicht.
Kann mir da jemand einen super Tipp geben?
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mi 22.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]n[/mm] nat"urliche Zahlen und [mm]k\in\{0,1,...,n-1\}[/mm].
> Sei [mm]\alpha\ne 0[/mm] eine beliebige algebraische Zahl. Zeigen
> Sie die Transzendenz der komplexen Zahl
>
> [mm]\omega:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{nj+k}}{(nj+k)!}[/mm]
>
> Tipp: Stellen Sie [mm]\omega[/mm] als Linearkombination der Zahlen
> [mm]e^\alpha,e^{\rho\alpha},...,e^{\rho^{n-1}\alpha}[/mm] dar. Wobei
> [mm]\rho=exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)[/mm]
> Ich habe diese Frage
> in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen!
> Ich scheitere bei der Aufgabe an der Darstellung von
> [mm]\omega[/mm] als Linearkombi der Zahlen
> [mm]e^\alpha,e^{\rho\alpha},...,e^{\rho^{n-1}\alpha}.[/mm]
> Folgendes hab ich mal gemacht:
>
> 1.) [mm]\alpha\ne 0[/mm] sei eine beliebige algebraische Zahl, d.h.
> es gibt ein Polynom mit folgender Eigenschaft
>
> [mm]P(\alpha)=a_0\cdot\alpha^0+a_1\cdot \alpha^1+...+a_n\cdot \alpha^n=0[/mm]
>
> mit rationalen Koeffizienten [mm]a_k \in Q[/mm], [mm]k=0,...,n[/mm].
Das brauchst du hier eher nicht. Ich vermute, du sollst sowas wie das Lindemann-Weierstrass-Theorem anwenden.
> 2.) Sei [mm]n=2[/mm] und [mm]k=0[/mm] so ergibt sich f"ur [mm]\omega[/mm]
>
> [mm]\omega_{k=0}:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{2j}}{(2j)!}=\frac{\alpha^{0}}{0!}+\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{4}}{4!}+\frac{\alpha^{6}}{6!}+...[/mm]
>
> Sei [mm]n=2[/mm] und [mm]k=1[/mm] so ergibt sich f"ur [mm]\omega[/mm]
>
> [mm]\omega_{k=1}:=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^{2j+1}}{(2j+1)!}=\frac{\alpha^{1}}{1!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+\frac{\alpha^{5}}{5!}+\frac{\alpha^{7}}{7!}+...[/mm]
Ist dir aufgefallen, dass dies etwas mit Sinus und Kosinus hyperbolicus? Und du weisst, dass du Sinus und Kosinus hyperbolicus als Linearkombination von [mm] $\exp(x)$ [/mm] und [mm] $\exp(-x)$ [/mm] schreiben kannst?
> Die Exponentialreihe ist definiert als
>
> [mm]exp(\alpha)=\sum_{j=0}^\infty \frac{\alpha^j}{j!}=\frac{\alpha^{0}}{0!}+\frac{\alpha^{1}}{1!}+\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+\frac{\alpha^{4}}{4!}+...[/mm]
>
> Es ergibt sich daher f"ur [mm]n=2[/mm]
>
> [mm]exp(\alpha)=\omega_{k=0}+\omega_{k=1}[/mm]
Was nicht ueberraschend ist.
Weiterhin kannst du [mm] $\omega_{k=0}$ [/mm] und [mm] $\omega_{k=1}$ [/mm] durch [mm] $\exp(\alpha)$ [/mm] und [mm] $\exp(-\alpha)$ [/mm] ausdruecken.
> Wie ich das jetzt als als Linearkombi der Zahlen
> [mm]e^\alpha,e^{\rho\alpha},...,e^{\rho^{n-1}\alpha}[/mm] darstellen
> soll, weiß ich nicht.
> Kann mir da jemand einen super Tipp geben?
Du musst es nicht explizit darstellen.
Schreib erstmal [mm] $\sum_{i=0}^{n-1} \lambda_i \exp(\rho^i \alpha)$ [/mm] aus, sortiert nach Potenzen von [mm] $\alpha$.
[/mm]
Beachte, dass [mm] $\rho^n [/mm] = 1$ ist. Damit diese Summe gleich [mm] $\omega$ [/mm] ist, muss das LGS [mm] $\pmat{ 1 & 1 ^ \cdots & 1 \\ 1 & \rho & \cdots & \rho^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho^{0 \cdot (n - 1)} & \rho^{1 \cdot (n - 1)} & \cdots & \rho^{(n - 1) \cdot (n - 1)} } \pmat{ \lambda_0 \\ \vdots \\ \lambda_{n-1} } [/mm] = [mm] e_k$ [/mm] erfuellt sein, wobei [mm] $e_k$ [/mm] der Vektor in [mm] $\IR^n$ [/mm] ist, der an $k + 1$-ter Stelle eine 1 und sonst nur Nullen hat.
(Mach dir das erstmal klar!)
Was weisst du ueber solche Gleichungssysteme? Kannst du etwas ueber die Determinante der linken Matrix aussagen? (Die solltest du schonmal gesehen haben! Die hat einen bekannten Namen und kommt oft als Uebungsaufgabe zur vollstaendigen Induktion in LinAlg1 vor...)
Damit kannst du schnell beweisen, dass es [mm] $\lambda_i$ [/mm] in [mm] $\IQ(\rho)$ [/mm] gibt, die dieses LGS loesen. (Und die [mm] $\lambda_i$ [/mm] sind somit insb. algebraisch.)
LG Felix
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