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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:51 So 21.11.2010 | | Autor: | Robbe7 |
| Aufgabe | Von zwei Raffinerien soll Öl zu drei Mineralölgesellschaften transportiert werden. Jede der beiden Raffinerien kann maximal 50 Millionen Barrel Öl liefern. Die Mineralölgesellschaft ODOL soll mindestens 25 Millionen Barrel erhalten, MUSCHEL mindestens 45 Millionen und MEXICO mindestens 10 Millionen. Der Transport von 1 Million Barrel Öl von Raffinerie 1 zu den Mineralölgesellschaften kostet 2 Millionen Euro, 2,8 Millionen Euro und 3,8 Millionen Euro, von Raffinerie 2 kostet er 3 Millionen Euro, 4 Millionen Euro und 4,2 Millionen Euro.
(i) Stellen Sie eine Transportmatrix auf und formulieren Sie das vollständige LP!
(ii) Wie ändert sich das LP, wenn Sie annehmen, dass für die Nutzung einer Raffinerie Fixkosten in Höhe von jeweils 10 Millionen Euro entstehen?
(iii) Was ändert sich, wenn Sie darüber hinaus annehmen, dass für die Nutzung der Wegstrecken von jeder der Raffinerien zu den drei Mineralölgesellschaften fixe Wegekosten von jeweils 0,5 Millionen Euro anfallen (jeweils unabhängig von der zu transportierenden Menge an Öl)? |
In der Übung wurde folgendermaßen vorgegangen:
(i)
Transpotmatrix:
Senken(j)=>.........ODOL..........MUSCHEL.........MEXICO........Angebot(Si)
Quellen(i)
Raff.A..............2..............2,8.............3,8.............50
Raff.B..............3...............4..............4,2.............50
Nachfrage(dj).......25.............45...............10
Vollständiges LP:
Entscheidungsvariablen:
[mm] x_{ij}= [/mm] Anzahl der Barrel Öl die von Raff. A oder Raff. B nach ODOL,MUSCHEL oder MEXICO transportiert werden.
[mm] c_{ij}= [/mm] Kosten des Transports
Zielfunktion:
min z= [mm] 2x_{11}+2,8x_{12}+3,8x_{13}+3x_{21}+4x_{22}+4,2x_{23}=\summe_{i=1}^{2}\summe_{j=1}^{3}c_{ij}x_{ij}
[/mm]
Nebenbedingungen:
-> Angebotsseite [mm] (S_{i}): [/mm] Die lieferbare Menge darf nicht überschritten werden
[mm] \summe_{j=1}^{3}x_{ij}\leq S_{i} [/mm] i=1,2
[mm] x_{11}+x_{12}+x_{13}\leq [/mm] 50 Raff. A
[mm] x_{21}+x_{22}+x_{23}\leq [/mm] 50 Raff. B
-> Nachfrageseite [mm] (d_{j}): [/mm] Nachfrage muss erfüllt werden
$ [mm] \summe_{i=1}^{2}x_{ij}=d_{j} [/mm] $ j=1,2,3
[mm] x_{11}+x_{21}= [/mm] 25 ODOL
[mm] x_{12}+x_{22}= [/mm] 45 MUSCHEL
[mm] x_{13}+x_{23}= [/mm] 10 MEXICO
-> Nichtnegativitätsbedingung: [mm] x_{ij}\geq [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] i,j
ii)
Erweiterung: Fixkosten für Nutzung der Raffinerie
-> Idee: zusätzliche Entscheidungsvariable einführen
[mm] y_{i}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } R{i} \mbox{ nicht genutzt wird} \\ 1, & \mbox{falls } R{i} \mbox{ genutzt wird} \end{cases} R_{i}= [/mm] Raffinerie i
[mm] F_{i}=Kosten [/mm] für Nutzung einer Raffinerie
Zentralfunktion:
min [mm] z=\summe_{i=1}^{2}\summe_{j=1}^{3}c_{ij}x{ij}+\summe_{i=1}^{2}F_{i}y_{i} [/mm] => Transportkosten+Fixkosten
Nebenbedingung:
-> Angebotsseite [mm] (S_{i}):
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{3}x_{ij}\leq S_{i}y{i}
[/mm]
=> [mm] \summe_{j=1}^{3}x_{ij}-y{i}S_{i}\leq0
[/mm]
iii)
Erweiterung: Fixe Wegkosten
->Idee: neue Entscheidungsvariable einführen
[mm] Z_{ij}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls }\mbox{ die Strecke von i nach j nicht genutzt wird} \\ 1, & \mbox{falls}\mbox{ sie genutzt wird} \end{cases}
[/mm]
[mm] K_{ij}= [/mm] Kosten für die Nutzung der Strecke von i nach j
Zentralfunktion:
min [mm] z=\summe_{i=1}^{2}\summe_{j=1}^{3}c_{ij}x_{ij}+\summe_{i=1}^{2}F_{i}y_{i}+\summe_{i=1}^{2}\summe_{j=1}^{3}K_{ij}Z_{ij} [/mm]
=> Transportkosten+Fixkosten+Fixe Wegkosten
wenn [mm] Z_{ij}=0 =>x_{ij}=0 [/mm] (Strecke wird nicht genutzt)
wenn [mm] Z_{ij}=1 =>x_{ij}=0 [/mm] (Strecke wird genutzt)
[mm] x_{ij}\leq Z_{ij}x_{ij} [/mm] => Problem: nicht linear
Mögliche Lösungen:
[mm] \summe_{j=1}^{3}x_{ij}\leq S_{i} [/mm] i= 1,2 (Angebotsseite)
[mm] \summe_{i=1}^{2}x_{ij}= d_{j} [/mm] j= 1,2,3 (Nachfrageseite)
[mm] x_{ij}\leq max{{S_{i}d_{j} }}= [/mm] :M
=> [mm] x_{ij}\leq Z_{ij}*M
[/mm]
=> [mm] x_{ij}-Z_{ij}*M\leq0 [/mm] zusätzliche Nebenbedingung
Ich kann i) und ii) komplett nachvollziehen, bei iii) habe ich ein paar Probleme...
Frage zu ii):
Muss man die 10 Mio € Fixkosten jetzt nicht noch in die Formel(n) einsetzen?
Wenn ja wie würde das aussehen?
Zu iii)
Die Zentralfunktion kann ich noch aufstellen, der Rest ist mir unklar.
min [mm] z=\summe_{i=1}^{2}\summe_{j=1}^{3}c_{ij}x_{ij}+\summe_{i=1}^{2}F_{i}y_{i}+\summe_{i=1}^{2}\summe_{j=1}^{3}K_{ij}Z_{ij} [/mm]
-> wenn man jetzt [mm] Z_{ij}=0 [/mm] bzw. [mm] Z_{ij}=1 [/mm] setzt warum ist dann [mm] x_{ij}=0 [/mm] bzw. [mm] x_{ij}= x_{ij} [/mm] ?
In der Zentralfunktion haben [mm] Z_{ij} [/mm] und [mm] x_{ij} [/mm] doch gar keinen Zusammenhang!
Müsste es nicht heißen wenn [mm] Z_{ij}=0 [/mm] bzw. [mm] Z_{ij}=1 [/mm] dann ist [mm] K_{ij}=0 [/mm] bzw. [mm] K_{ij}= K_{ij},? [/mm]
(weil doch zwischen [mm] Z_{ij} [/mm] und [mm] K_{ij} [/mm] ein Zusammenhang besteht)
-> wie kommt man auf [mm] x_{ij}\leq Z_{ij}x_{ij} [/mm] ???
und was sagt es aus?
-> wie kommt man auf [mm] x_{ij}\leq max{{S_{i}d_{j} }}= [/mm] :M ???
und was sagt es aus?
-> wie kommt man auf [mm] x_{ij}\leq Z_{ij}*M [/mm] ???
und was sagt es aus?
Wäre super wenn mir das jemand erläutern könnte
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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