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| Aufgabe | (1) Sei [mm] \phi [/mm] eine uneigentliche Bewegung des [mm] \mathbb{R}^2. [/mm] Zeigen Sie: [mm] \phi^2 [/mm] ist eine Translation. (Geben Sie zusätzlich eine geometrische Beschreibung)
(2) Genau dann ist ein Endomorphismus von [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] eine Spiegelung, wenn er die Eigenwerte 1 und -1 hat und die zugehörigen Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. |
Hallo,
(1) Eine Bewegung ist eine Hintereinanderschaltung einer orthogonalen Abbildung und einer Translation.
Könnte ich dann nicht einfach definieren: Sei [mm] T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2 [/mm] eine orthogonale Abbildung und [mm] a\in \mathbb{R}^2, [/mm] dann [mm] \phi=T(x)+a, [/mm] für alle [mm] x\in \mathbb{R}^2?
[/mm]
Damit die Bewegung uneigentlich ist, muss ihre Determinante =-1 sein, es gilt also [mm] det(\phi)=-1.
[/mm]
Jetzt soll ich mit diesen Informationen beweisen, dass [mm] \phi^2 [/mm] eine Trnaslation, also eine parallelverschiebung ist. Ich muss doch dann am Ende für [mm] \phi^2 [/mm] rausbekommen: *+b, wobei b [mm] \in \mathbb{R}^2.
[/mm]
Ich weiß allerdings auch nicht, wie mir die Determinante da weiterhelfen soll.
(2) Hier muss ich 2 Richtungen zeigen. Sei f [mm] \in End(\mathbb{R}^2) [/mm] eine Spiegelung. Kann ich mir den dann nicht irgendwie durch die Spiegelmatrix definieren. Also [mm] f(x):=$\begin{pmatrix}cos\phi & sin\phi\\
sin\phi & -cos\phi\end{pmatrix}x,$ $0\leq\phi<2\pi$\\
[/mm]
Dann käme ich nähmlich auf das charakteristische Polynom [mm] T^2-1 [/mm] und somit auf die geforderten Eigenwerte.
Leider gestaltet sich das berechnen der Eigenvektoren etwas schwieriger. Dabei habe ich so meine Probleme.
Zur Rückrichtung: Da habe ich leider noch keinen Ansatz.
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> (1) Sei [mm]\phi[/mm] eine uneigentliche Bewegung des [mm]\mathbb{R}^2.[/mm]
> Zeigen Sie: [mm]\phi^2[/mm] ist eine Translation. (Geben Sie
> zusätzlich eine geometrische Beschreibung)
>
> (2) Genau dann ist ein Endomorphismus von [mm]\mathbb{R}^2[/mm] eine
> Spiegelung, wenn er die Eigenwerte 1 und -1 hat und die
> zugehörigen Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
> Hallo,
>
> (1) Eine Bewegung ist eine Hintereinanderschaltung einer
> orthogonalen Abbildung und einer Translation.
> Könnte ich dann nicht einfach definieren: Sei
> [mm]T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] eine orthogonale
> Abbildung und [mm]a\in \mathbb{R}^2,[/mm] dann [mm]\phi=T(x)+a,[/mm] für
> alle [mm]x\in \mathbb{R}^2?[/mm]
>
> Damit die Bewegung uneigentlich ist, muss ihre Determinante
> =-1 sein, es gilt also [mm]det(\phi)=-1.[/mm]
>
> Jetzt soll ich mit diesen Informationen beweisen, dass
> [mm]\phi^2[/mm] eine Trnaslation, also eine parallelverschiebung
> ist. Ich muss doch dann am Ende für [mm]\phi^2[/mm] rausbekommen:
> *+b,
Hallo,
das *+b, ist mir zu geheimnisvoll, vielleicht meinst Du das richtige.
Du hast also [mm] \phi(x)=T(x)+a [/mm] , wobei T orthogonal und det T=-1.
Wenn Du Dich für [mm] \phi^2 [/mm] interessierst, ist es ja naheliegend, erstmal [mm] \phi^2(x) [/mm] auszurechnen.
Was erhältst Du?
Nun mußt Du über [mm] T^2(x) [/mm] nachdenken. Wie Du das tust, hängt etwas davon ab, was Du über die orthogonalen Abbildungen der Ebene auf sich weißt.
> wobei b [mm]\in \mathbb{R}^2.[/mm]
> Ich weiß allerdings auch
> nicht, wie mir die Determinante da weiterhelfen soll.
>
> (2) Hier muss ich 2 Richtungen zeigen. Sei f [mm]\in End(\mathbb{R}^2)[/mm]
> eine Spiegelung. Kann ich mir den dann nicht irgendwie
> durch die Spiegelmatrix definieren.
Ich würde es anders machen: Du hast eine Spiegelung, sagen wir an der Achse in Richtung [mm] b_1, [/mm] und stellst nun erst die Spiegelmatrix auf.
Nimm dafür eine Basis, die gut zu Deiner Spiegelung paßt.
> Zur Rückrichtung: Da habe ich leider noch keinen Ansatz.
Du sollst hier zeigen, daß eine Abbildung mit den Eigenwerten 1 und -1und orthogonalen Eigenvektoren [mm] b_1, b_2 [/mm] eine Spiegelung beschreibt.
Stell die darstellende Matrix bzgl [mm] (b_1,b_2) [/mm] auf, und zeige dann, daß die Abbildung eine Spiegelung ist.
Gruß v. Angela
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> > (1) Sei [mm]\phi[/mm] eine uneigentliche Bewegung des [mm]\mathbb{R}^2.[/mm]
> > Zeigen Sie: [mm]\phi^2[/mm] ist eine Translation. (Geben Sie
> > zusätzlich eine geometrische Beschreibung)
> >
> > (2) Genau dann ist ein Endomorphismus von [mm]\mathbb{R}^2[/mm] eine
> > Spiegelung, wenn er die Eigenwerte 1 und -1 hat und die
> > zugehörigen Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
> > Hallo,
> >
> > (1) Eine Bewegung ist eine Hintereinanderschaltung einer
> > orthogonalen Abbildung und einer Translation.
> > Könnte ich dann nicht einfach definieren: Sei
> > [mm]T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] eine orthogonale
> > Abbildung und [mm]a\in \mathbb{R}^2,[/mm] dann [mm]\phi=T(x)+a,[/mm] für
> > alle [mm]x\in \mathbb{R}^2?[/mm]
> >
> > Damit die Bewegung uneigentlich ist, muss ihre Determinante
> > =-1 sein, es gilt also [mm]det(\phi)=-1.[/mm]
> >
> > Jetzt soll ich mit diesen Informationen beweisen, dass
> > [mm]\phi^2[/mm] eine Trnaslation, also eine parallelverschiebung
> > ist. Ich muss doch dann am Ende für [mm]\phi^2[/mm] rausbekommen:
> > *+b,
>
> Hallo,
>
> das *+b, ist mir zu geheimnisvoll, vielleicht meinst Du das
> richtige.
>
> Du hast also [mm]\phi(x)=T(x)+a[/mm] , wobei T orthogonal und det
> T=-1.
>
> Wenn Du Dich für [mm]\phi^2[/mm] interessierst, ist es ja
> naheliegend, erstmal [mm]\phi^2(x)[/mm] auszurechnen.
>
> Was erhältst Du?
Es wäre doch [mm] \phi(\phi(x))=\phi(T(x)+a)=T(T(x))+a=T^{2}(x)+a
[/mm]
>
> Nun mußt Du über [mm]T^2(x)[/mm] nachdenken. Wie Du das tust,
> hängt etwas davon ab, was Du über die orthogonalen
> Abbildungen der Ebene auf sich weißt.
Leider so gut wie garnichts. Habe ein bisschen rumgesucht, aber nur gefunden, dass orthogonale Abbildungen Isometrien sind.
Schön wäre es doch, wenn gilt [mm] T^2=Id, [/mm] dann hätte ich meine Translation.
Allerdings hätte ich dann für die ganze Argumentation nicht meine Determinante gebraucht, was mir doch verdächtig erscheint.
Und die Frage ist noch, wie kann ich mir das geometrisch vorstellen, um es interpretieren zu können?
>
>
>
> > wobei b [mm]\in \mathbb{R}^2.[/mm]
> > Ich weiß allerdings auch
> > nicht, wie mir die Determinante da weiterhelfen soll.
> >
> > (2) Hier muss ich 2 Richtungen zeigen. Sei f [mm]\in End(\mathbb{R}^2)[/mm]
> > eine Spiegelung. Kann ich mir den dann nicht irgendwie
> > durch die Spiegelmatrix definieren.
>
> Ich würde es anders machen: Du hast eine Spiegelung,
> sagen wir an der Achse in Richtung [mm]b_1,[/mm] und stellst nun
> erst die Spiegelmatrix auf.
> Nimm dafür eine Basis, die gut zu Deiner Spiegelung
> paßt.
>
>
> > Zur Rückrichtung: Da habe ich leider noch keinen Ansatz.
>
> Du sollst hier zeigen, daß eine Abbildung mit den
> Eigenwerten 1 und -1und orthogonalen Eigenvektoren [mm]b_1, b_2[/mm]
> eine Spiegelung beschreibt.
> Stell die darstellende Matrix bzgl [mm](b_1,b_2)[/mm] auf, und
> zeige dann, daß die Abbildung eine Spiegelung ist.
>
> Gruß v. Angela
>
Ok. Die Hin-Richtung konnte ich leider nicht richtig nachvollziehen und habe dementsprechend noch nichts.
Zur Rückrichtung habe ich mir bis jetzt folgendes gedacht:
Sei [mm] b_1 [/mm] Eigenvektor zu 1, [mm] b_2 [/mm] zu -1. Weiterhin seinen [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] orthogonal, dann für [mm] b_1=(b_1_x,b_1_y) [/mm] und [mm] b_2=(-b_1_y,b_1_x).
[/mm]
Dann gilt: [mm] f(b_1)=b_1 [/mm] und [mm] f(b_2)=-b_2.
[/mm]
Als Darstellungsmatrix erhalte ich:
[mm] \begin{pmatrix}b_{1_{x}} & b_{1_{y}}\\
b_{1_{y}} & -b_{1_{x}}\end{pmatrix} [/mm] und das sieht mir doch schonmal nach einer Spiegelung aus.
Reicht das so schon?
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> > > (1) Sei [mm]\phi[/mm] eine uneigentliche Bewegung des [mm]\mathbb{R}^2.[/mm]
> > > Zeigen Sie: [mm]\phi^2[/mm] ist eine Translation. (Geben Sie
> > > zusätzlich eine geometrische Beschreibung)
> > >
> > > (2) Genau dann ist ein Endomorphismus von [mm]\mathbb{R}^2[/mm] eine
> > > Spiegelung, wenn er die Eigenwerte 1 und -1 hat und die
> > > zugehörigen Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
> > > Hallo,
> > >
> > > (1) Eine Bewegung ist eine Hintereinanderschaltung einer
> > > orthogonalen Abbildung und einer Translation.
> > Du hast also [mm]\phi(x)=T(x)+a[/mm] , wobei T orthogonal und det
> > T=-1.
> >
> > Wenn Du Dich für [mm]\phi^2[/mm] interessierst, ist es ja
> > naheliegend, erstmal [mm]\phi^2(x)[/mm] auszurechnen.
> >
> > Was erhältst Du?
>
> Es wäre doch
> [mm]\phi(\phi(x))=\phi(T(x)+a)=T(T(x))+a=T^{2}(x)+a[/mm]
Hallo,
nein, nicht ganz. Mach das mal langsam, ohne irgendeinen schritt zu überspringen.
> >
> > Nun mußt Du über [mm]T^2(x)[/mm] nachdenken. Wie Du das tust,
> > hängt etwas davon ab, was Du über die orthogonalen
> > Abbildungen der Ebene auf sich weißt.
>
> Leider so gut wie garnichts. Habe ein bisschen rumgesucht,
> aber nur gefunden, dass orthogonale Abbildungen Isometrien
> sind.
>
> Schön wäre es doch, wenn gilt [mm]T^2=Id,[/mm] dann hätte ich
> meine Translation.
Genau.
> Allerdings hätte ich dann für die ganze Argumentation
> nicht meine Determinante gebraucht, was mir doch
> verdächtig erscheint.
Hm. Vielleicht suchst Du mal, ob Ihr über die orthogonalen Abbildungen der Ebene etwas aufgeschrieben habt.
Es gibt nämlich nur zwei Möglichkeiten: Drehung und Spiegelung.
> Und die Frage ist noch, wie kann ich mir das geometrisch
> vorstellen, um es interpretieren zu können?
Ja, darüber solltest Du nachdenken.
> > > (2) Hier muss ich 2 Richtungen zeigen. Sei f [mm]\in End(\mathbb{R}^2)[/mm]
> > > eine Spiegelung. Kann ich mir den dann nicht irgendwie
> > > durch die Spiegelmatrix definieren.
> >
> > Ich würde es anders machen: Du hast eine Spiegelung,
> > sagen wir an der Achse in Richtung [mm]b_1,[/mm] und stellst nun
> > erst die Spiegelmatrix auf.
> > Nimm dafür eine Basis, die gut zu Deiner Spiegelung
> > paßt.
> >
> >
> > > Zur Rückrichtung: Da habe ich leider noch keinen Ansatz.
> >
> > Du sollst hier zeigen, daß eine Abbildung mit den
> > Eigenwerten 1 und -1und orthogonalen Eigenvektoren [mm]b_1, b_2[/mm]
> > eine Spiegelung beschreibt.
> > Stell die darstellende Matrix bzgl [mm](b_1,b_2)[/mm] auf, und
> > zeige dann, daß die Abbildung eine Spiegelung ist.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Ok. Die Hin-Richtung konnte ich leider nicht richtig
> nachvollziehen und habe dementsprechend noch nichts.
Du weißt aber so in etwa, was eine Achsenspiegelung tut?
Worauf wird der vektor [mm] b_1, [/mm] der in Richung der Spiegelachse zeigt, abgebildet?
Und nun nimm für [mm] b_2 [/mm] einen dazu senkrechten.
>
> Zur Rückrichtung habe ich mir bis jetzt folgendes
> gedacht:
> Sei [mm]b_1[/mm] Eigenvektor zu 1, [mm]b_2[/mm] zu -1. Weiterhin seinen [mm]b_1[/mm]
> und [mm]b_2[/mm] orthogonal, dann für [mm]b_1=(b_1_x,b_1_y)[/mm] und
> [mm]b_2=(-b_1_y,b_1_x).[/mm]
> Dann gilt: [mm]f(b_1)=b_1[/mm] und [mm]f(b_2)=-b_2.[/mm]
> Als Darstellungsmatrix erhalte ich:
> [mm]\begin{pmatrix}b_{1_{x}} & b_{1_{y}}\\
b_{1_{y}} & -b_{1_{x}}\end{pmatrix}[/mm]
Du kannst die Darstellungsmatrix bzgl der Basis [mm] b_1, b_2 [/mm] doch exakt angeben!
[mm] b_1\mapsto [/mm] ...
[mm] b_2\mapsto [/mm] ...
Also lautet die Matrix ... und ihre Det ist ...
Gruß v. Angela
> und das sieht mir doch schonmal nach einer Spiegelung aus.
> Reicht das so schon?
>
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> > [mm]\phi(\phi(x))=\phi(T(x)+a)=T(T(x))+a=T^{2}(x)+a[/mm]
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> Hallo,
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> nein, nicht ganz. Mach das mal langsam, ohne irgendeinen
> schritt zu überspringen.
[mm] \phi(\phi(x))=\phi(T(x)+a))=T(T(x)+a)+a=T^2(x)+T(a)+a
[/mm]
so? Dann hätte ich da wieder so ein T(a) drin.
> Hm. Vielleicht suchst Du mal, ob Ihr über die orthogonalen
> Abbildungen der Ebene etwas aufgeschrieben habt.
> Es gibt nämlich nur zwei Möglichkeiten: Drehung und
> Spiegelung.
>
Naja gut, wenn das so ist, dann ist auch klar, dass [mm] T^2(x)=x [/mm] ist.
>
> > Und die Frage ist noch, wie kann ich mir das geometrisch
> > vorstellen, um es interpretieren zu können?
>
> Ja, darüber solltest Du nachdenken.
>
>
> > > > (2) Hier muss ich 2 Richtungen zeigen. Sei f [mm]\in End(\mathbb{R}^2)[/mm]
> > > > eine Spiegelung. Kann ich mir den dann nicht irgendwie
> > > > durch die Spiegelmatrix definieren.
> > >
> > > Ich würde es anders machen: Du hast eine Spiegelung,
> > > sagen wir an der Achse in Richtung [mm]b_1,[/mm] und stellst nun
> > > erst die Spiegelmatrix auf.
> > > Nimm dafür eine Basis, die gut zu Deiner Spiegelung
> > > paßt.
> > >
> > >
> > > > Zur Rückrichtung: Da habe ich leider noch keinen Ansatz.
> > >
> > > Du sollst hier zeigen, daß eine Abbildung mit den
> > > Eigenwerten 1 und -1und orthogonalen Eigenvektoren [mm]b_1, b_2[/mm]
> > > eine Spiegelung beschreibt.
> > > Stell die darstellende Matrix bzgl [mm](b_1,b_2)[/mm] auf,
> und
> > > zeige dann, daß die Abbildung eine Spiegelung ist.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> >
> > Ok. Die Hin-Richtung konnte ich leider nicht richtig
> > nachvollziehen und habe dementsprechend noch nichts.
>
> Du weißt aber so in etwa, was eine Achsenspiegelung tut?
> Worauf wird der vektor [mm]b_1,[/mm] der in Richung der
> Spiegelachse zeigt, abgebildet?
Auf sich selbst, hoffentlich.
>
> Und nun nimm für [mm]b_2[/mm] einen dazu senkrechten.
>
Nimmt man dann für [mm] b_2 [/mm] einfach [mm] -b_1?
[/mm]
Aber das geht nicht, dann käme ich auf eine falsche Matrix.
> >
> > Zur Rückrichtung habe ich mir bis jetzt folgendes
> > gedacht:
> > Sei [mm]b_1[/mm] Eigenvektor zu 1, [mm]b_2[/mm] zu -1. Weiterhin seinen
> [mm]b_1[/mm]
> > und [mm]b_2[/mm] orthogonal, dann für [mm]b_1=(b_1_x,b_1_y)[/mm] und
> > [mm]b_2=(-b_1_y,b_1_x).[/mm]
> > Dann gilt: [mm]f(b_1)=b_1[/mm] und [mm]f(b_2)=-b_2.[/mm]
> > Als Darstellungsmatrix erhalte ich:
> > [mm]\begin{pmatrix}b_{1_{x}} & b_{1_{y}}\\
b_{1_{y}} & -b_{1_{x}}\end{pmatrix}[/mm]
>
> Du kannst die Darstellungsmatrix bzgl der Basis [mm]b_1, b_2[/mm]
> doch exakt angeben!
>
> [mm]b_1\mapsto[/mm] ...
> [mm]b_2\mapsto[/mm] ...
>
> Also lautet die Matrix ... und ihre Det ist ...
>
Matrix: [mm] \begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & -1\end{pmatrix} [/mm] mit det=-1, also Spiegelung.
>
> Gruß v. Angela
> > und das sieht mir doch schonmal nach einer Spiegelung
> aus.
> > Reicht das so schon?
>
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> [mm]\phi(\phi(x))=\phi(T(x)+a))=T(T(x)+a)+a=T^2(x)+T(a)+a[/mm]
>
> so? Dann hätte ich da wieder so ein T(a) drin.
Hallo,
ja, so ist's richtig.
T(a) tut niemandem weh. a ist doch konstant, also auch T(a), und T(a)+a ist Dein neuer Verschiebungsvektor.
> Naja gut, wenn das so ist, dann ist auch klar, dass
> [mm]T^2(x)=x[/mm] ist.
Ja, bei der Spiegelung.
Und warum ist's eine Spiegelung? (Das mußt Du mir nicht sagen, aber Du solltest es wissen und erwähnen.)
> > > > > (2)
> > Du weißt aber so in etwa, was eine Achsenspiegelung tut?
> > Worauf wird der vektor [mm]b_1,[/mm] der in Richung der
> > Spiegelachse zeigt, abgebildet?
>
> Auf sich selbst, hoffentlich.
Ja. Sonst wär's ja nicht die Spiegelachse.
>
> >
> > Und nun nimm für [mm]b_2[/mm] einen dazu senkrechten.
> >
> Nimmt man dann für [mm]b_2[/mm] einfach [mm]-b_1?[/mm]
> Aber das geht nicht, dann käme ich auf eine falsche
> Matrix.
Du solltest nicht raten, sondern Dir einen Zettel nehmen und eine Skizze anfertigen.
Dank mal nicht so sehr an Mathematik (=schwierig), sondern verwende Deinen gesunden Menschenverstand.
Du hast also eine Spiegelachse, die durch den Koordinatenursprung geht, [mm] b_1 [/mm] ist ein Vektor in Richung dieser Achse.Vielleicht zeichnest Du ihn so ein, daß sein Füßchen im Ursprung ist. Jetzt nimm einen dazu senkrechten Vektor [mm] b_2 [/mm] (auch mit dem Füßchen im Ursprung). Kannst Du [mm] b_2 [/mm] jetzt mal an der Achse spiegeln? Worauf wird [mm] b_2 [/mm] abgebildet? Doch nicht auf [mm] -b_1... [/mm]
>
>
> > >
> > > Zur Rückrichtung habe ich mir bis jetzt folgendes
> > > gedacht:
> > > Sei [mm]b_1[/mm] Eigenvektor zu 1, [mm]b_2[/mm] zu -1. Weiterhin
> seinen
> > [mm]b_1[/mm]
> > > und [mm]b_2[/mm] orthogonal, dann für [mm]b_1=(b_1_x,b_1_y)[/mm] und
> > > [mm]b_2=(-b_1_y,b_1_x).[/mm]
> > > Dann gilt: [mm]f(b_1)=b_1[/mm] und [mm]f(b_2)=-b_2.[/mm]
> > > Als Darstellungsmatrix erhalte ich:
> > > [mm]\begin{pmatrix}b_{1_{x}} & b_{1_{y}}\\
b_{1_{y}} & -b_{1_{x}}\end{pmatrix}[/mm]
> >
> > Du kannst die Darstellungsmatrix bzgl der Basis [mm]b_1, b_2[/mm]
> > doch exakt angeben!
> >
> > [mm]b_1\mapsto[/mm] ...
> > [mm]b_2\mapsto[/mm] ...
> >
> > Also lautet die Matrix ... und ihre Det ist ...
> >
> Matrix: [mm]\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & -1\end{pmatrix}[/mm] mit
> det=-1, also Spiegelung.
Spiegelung ergibt sich aus " orthogonalund det =-1" - immer vorausgesetzt, daß das dran war.
Gruß v. Angela
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