Transitivität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mo 17.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe, H ein Normalteiler in G und K ein Normalteiler in H. Ist dann auch K ein Normalteiler in G? Mit anderen Worten ist: Ist die Relation Normalteiler transitiv? |
Hallo Leute,
habe mal so begonnen.
Seien a,b [mm] \in [/mm] G:
Dann sind a und b im Normalteiler H wenn gilt:
[mm] ab^{-1} \in [/mm] H
Dies gilt also und da [mm] ab^{-1} [/mm] Elemente in H sind, muss auch gelten, dass [mm] (ab^{-1})(ab^{-1})^{-1} \in [/mm] K (K ist der Normalteiler in H):
[mm] (ab^{-1})(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1}(b^{-1})^{-1}a^{-1}=ab^{-1}ba^{-1}=e \in [/mm] G
Und da e ein Element von G ist, ist auch K ein Normalteiler von G.
Geht das so?
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mo 17.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine Gruppe, H ein Normalteiler in G und K ein
> Normalteiler in H. Ist dann auch K ein Normalteiler in G?
> Mit anderen Worten ist: Ist die Relation Normalteiler
> transitiv?
> Hallo Leute,
>
> habe mal so begonnen.
>
> Seien a,b [mm]\in[/mm] G:
>
> Dann sind a und b im Normalteiler H wenn gilt:
>
> [mm]ab^{-1} \in[/mm] H
>
> Dies gilt also und da [mm]ab^{-1}[/mm] Elemente in H sind, muss auch
> gelten, dass [mm](ab^{-1})(ab^{-1})^{-1} \in[/mm] K (K ist der
> Normalteiler in H):
>
> [mm](ab^{-1})(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1}(b^{-1})^{-1}a^{-1}=ab^{-1}ba^{-1}=e \in[/mm]
> G
>
> Und da e ein Element von G ist, ist auch K ein Normalteiler
> von G.
>
> Geht das so?
Nein. Obiges ist völlig wirr.
Die Relation Normalteiler ist nicht transitiv !
Schau mal hier:
[mm] http://www.math.ethz.ch/~wustholz/vieweg-algebra/algebra_1.pdf
[/mm]
FRED
>
> Danke schonmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mo 17.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, habs gelesen, danke!
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