Transformationssatz/Subs.regel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:39 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Bersling |
Hallo,
der Trafosatz lautet ja wie folgt:
[mm]\mu(\Phi(\Omega)=\integral_{\Omega}^{}{|det(d\Phi)|d\mu}[/mm]
und sei [mm]\Psi=\Phi^{-1}[/mm].
Es passiert mir oft, dass ich zwar die richtige Parametrisierung einer Menge finde, mich dann aber mit der Determinante verhedere und die Falsche nehme.
Es ja bei höherdimensionalen Körpern oft schwierig sich das genau vorzustellen und ohne diese Übersicht weiss ich dann halt nicht, ob ich jetzt Phi oder Psi parametrisiert habe.
Gibt es irgendwelche Schlüsselindikatoren, die mir sagen, wann es sich um Phi und wann um Psi handelt?
Mir ist aufgefallen, dass ich bei Kreisen, Zylindern usw. oft direkt Phi habe, sobald ich mir aber eine Menge nicht genau vorstellen kann, also nur irgendwelche komischen Grenzen habe, dass ich dann Psi parametrisiere. Gibt es sonst noch irgendwelche wichtigen Merkmale? Oder Gedankengänge?
Mir ist zwar klar, dass dies eigentlich aus logischem Denken gefolgert werden könnte, aber ich weiss irgendwie nicht wo ansetzen.
Es ist gar nicht so einfach dieses Problem in eine konkrete Frage zu verwandeln, also hoffe ich, euch ist klar, was überhaupt mein Problem ist 
Danke für eure Antworten und Grüsse,
Daniel
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> Hallo,
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> der Trafosatz lautet ja wie folgt:
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> [mm]\mu(\Phi(\Omega)=\integral_{\Omega}^{}{|det(d\Phi)|d\mu}[/mm]
>
> und sei [mm]\Psi=\Phi^{-1}[/mm].
Deine Schreibweise ist so extrem abgekürzt, dass sie für mich nur sehr bedingt verständlich ist. Grundlegend ist einfach, dass [mm] $|\det(d\Phi)|\; d\mu$ [/mm] gleich dem alten Volumenelement, sagen wir [mm] $d\omega$, [/mm] (vor der Transformation) sein muss. Dies sollte als intuitive Stütze eigentlich genügen, um Verwechslungen vorzubeugen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Bersling |
Also dann will ich meine Notation mal erläutern:
[mm]\mu[/mm] ist das Jordan Mass
[mm]\Phi[/mm] ist die Abbildung von [mm]\Omega[/mm] auf die "neue Menge" [mm]\Phi(\Omega)[/mm].
Beispiel hierzu:
[mm]\Omega = \{ (x,y) \in \IR^3 | x^2 + y^2 = r \} [/mm]
Ich bilde Omega ab:
[mm]\Phi \vektor{r \\ \phi } = \vektor{\cos(\phi) \\ \sin(\phi)}, t \in [0,2\pi] [/mm]
[mm]d\Phi = \pmat{ \cos\phi & -r*\sin\phi \\ \sin\phi & r*\cos\phi } [/mm]
Determinante davon ist bekanntlich r.
So, da meine erste Faustregel lautete "bei Kreisen hast du direkt das Phi", gehe ich davon aus, dass ich nicht mehr [mm]\bruch{1}{|det(d\Phi)|}[/mm] rechnen muss, weil ich ja schon das richtige Phi habe.
Es folgt: [mm]\mu(\Phi(\Omega)= \integral_{\Omega}{|det(d\Phi)|d\mu = \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{r}{r}dr d\phi = \pi*r^2[/mm]
Also habe ich hier den Flächeninhalt eines Kreises berechnet.
Das Problem ist, dass im folgenden Beispiel, das Ganze "umgekehrt" verläuft:
[mm]\integral_{\Omega}{e^\bruch{x-y}{x+y}dxdy}[/mm] mit
[mm]\Omega = \{ (x,y) \in \IR^2 | 0 \le x , 0 \le y, x + y \le 1 \}[/mm]
Dann substituiere ich u = x +y und v = x - y,
und meine Jacobimatrix wird:
[mm]d\Phi\vektor{u \\ v} = \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
mit der Determinante im Betrag 2.
Jetzt habe ich aber in die falsche Richtung parametrisiert und muss noch
[mm]\bruch{1}{|det(d\Phi)|}[/mm] rechnen. Dann kann ich substituieren und bekomme das richtige Ergebnis. Man muss hier einen anderen Satz anwenden als oben, sorry, das Beispiel 2 ist nicht sonderlich gut gewählt. Dennoch, es bleibt das Problem, dass ich nicht weiss ob jetzt die Determinante 2 oder 1/2 sein soll, bis ich in der Musterlösung nachgeschaut habe. Ich rate zwar meist richtig anhand meiner komischen Faustregeln, aber ich würde mir das auch mal gerne seriös überlegen
P.S. Warum gibts keine Tasta mit allen mathematischen Symbolen, ist ja sowas von mühsam das alles mit [mm]LaTeX[/mm] zu tippen...
Viele Grüsse,
Daniel
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> Also dann will ich meine Notation mal erläutern:
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> [mm]\mu[/mm] ist das Jordan Mass
> [mm]\Phi[/mm] ist die Abbildung von [mm]\Omega[/mm] auf die "neue Menge"
> [mm]\Phi(\Omega)[/mm].
>
> Beispiel hierzu:
>
> [mm]\Omega = \{ (x,y) \in \IR^3 | x^2 + y^2 = r \}[/mm]
>
> Ich bilde Omega ab:
>
> [mm]\Phi \vektor{r \\ \phi } = \vektor{\cos(\phi) \\ \sin(\phi)}, t \in [0,2\pi][/mm]
>
> [mm]d\Phi = \pmat{ \cos\phi & -r*\sin\phi \\ \sin\phi & r*\cos\phi }[/mm]
>
> Determinante davon ist bekanntlich r.
>
> So, da meine erste Faustregel lautete "bei Kreisen hast du
> direkt das Phi", gehe ich davon aus, dass ich nicht mehr
> [mm]\bruch{1}{|det(d\Phi)|}[/mm] rechnen muss, weil ich ja schon das
> richtige Phi habe.
Ist es wirklich hilfreich, solche Merkregeln zu verwenden, die erst noch an rein willkürliche Benennungen wie [mm] $\Phi$ [/mm] gebunden sind? - Und damit, ob ein "Kreis" vorliegt oder nicht, hat das Problem, ob man einen Faktor [mm] $|\det(d\Phi)|$ [/mm] oder den Faktor [mm] $\frac{1}{|\det(d\Phi)|}$ [/mm] zu verwenden hat, sowieso nichts zu tun...
Mein Gegenvorschlag für eine Merkregel: Wenn Du eine Koordinatentransformation [mm] $\Phi$ [/mm] verwendest, dann wird ein Volumenelement des Urbildes (in linearer Näherung) in ein Volumenelement abgebildet, das um den Faktor [mm] $|\det(d\Phi)|$ [/mm] grösser ist. Denn [mm] $d\Phi$ [/mm] ist ja eine lineare Abbildung und [mm] $|\det(d\Phi)|$ [/mm] ist das Volumen des Parallelspates, der sich als Bild des von den Basisvektoren des Urbildraumes gebildeten Parallelspates unter [mm] $d\Phi$ [/mm] ergibt.
> Es folgt: [mm]\mu(\Phi(\Omega)= \integral_{\Omega}{|det(d\Phi)|d\mu = \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{r}{r}dr d\phi = \pi*r^2[/mm]
>
> Also habe ich hier den Flächeninhalt eines Kreises
> berechnet.
Gut, also hier hast Du den Inhalt des Bildes von [mm] $\Omega$ [/mm] unter der Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] bestimmt. Das kannst Du machen, indem Du zwar über [mm] $\Omega$ [/mm] integrierst, dabei aber die Grösse der Bilder der Volumenelemente unter [mm] $\Phi$ [/mm] aufsummierst: daher der zusätzliche Faktor [mm] $|\det(d\Phi)|$.
[/mm]
>
> Das Problem ist, dass im folgenden Beispiel, das Ganze
> "umgekehrt" verläuft:
>
> [mm]\integral_{\Omega}{e^\bruch{x-y}{x+y}dxdy}[/mm] mit
Es wäre vielleicht besser, hier die zusätzliche Komplikation einer zu integrierenden Funktion [mm] $e^\bruch{x-y}{x+y}$ [/mm] wegzulassen, weil dies mit Deinem Problem, die beiden Fälle auseinanderzuhalten, eigentlich nichts zu tun hat.
>
> [mm]\Omega = \{ (x,y) \in \IR^2 | 0 \le x , 0 \le y, x + y \le 1 \}[/mm]
>
> Dann substituiere ich u = x +y und v = x - y,
>
> und meine Jacobimatrix wird:
>
> [mm]d\Phi\vektor{u \\ v} = \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> mit der Determinante im Betrag 2.
>
> Jetzt habe ich aber in die falsche Richtung parametrisiert
> und muss noch
> [mm]\bruch{1}{|det(d\Phi)|}[/mm] rechnen.
Ja, es ist klar, Du hast mit der Koordinatentransformation [mm] $\Phi:\; (x,y)\mapsto [/mm] (u,v)$ eine zugehörige Transformation der Volumenelemente der Form [mm] $dx\,dy\mapsto du\,dv [/mm] = [mm] |\det(d\Phi)|\;dx\,dy$. [/mm] Dies bedeutet, dass das ursprüngliche Volumenelement [mm] $dx\, [/mm] dy$ aus dem neuen Volumenelement [mm] $du\,dv$ [/mm] mittels [mm] $dx\,dy [/mm] = [mm] \frac{1}{|\det(d\Phi)|}\,du\,dv$ [/mm] berechnet werden muss.
Wenn Du also den Inhalt von [mm] $\Omega$ [/mm] bestimmen willst (und nicht, wie bei Deinem ersten Beispiel, den Inhalt von [mm] $\Phi(\Omega)$), [/mm] dann musst Du nach wie vor die Volumenelemente [mm] $dx\,dy=\frac{1}{|\det(d\Phi)|}\,du\,dv$ [/mm] über [mm] $\Omega$ [/mm] aufsummieren. Daher ist hier der Faktor [mm] $\frac{1}{|\det(d\Phi)|}$ [/mm] und nicht etwa [mm] $|\det(d\Phi)|$.
[/mm]
> Dann kann ich
> substituieren und bekomme das richtige Ergebnis. Man muss
> hier einen anderen Satz anwenden als oben, sorry, das
> Beispiel 2 ist nicht sonderlich gut gewählt. Dennoch, es
> bleibt das Problem, dass ich nicht weiss ob jetzt die
> Determinante 2 oder 1/2 sein soll, bis ich in der
> Musterlösung nachgeschaut habe. Ich rate zwar meist richtig
> anhand meiner komischen Faustregeln,
Meiner unmassgeblichen Meinung nach ist es langfristig keine brauchbare Lernstrategie, sich "komische" Faustregeln zu merken. Bei Deiner obigen Faustregel war schon falsch, dass das rein willkürlich in der Luft hängende Symbol [mm] $\Phi$ [/mm] auftritt und zudem ein ebenso willkürlich zu spezifischer Kontext ("bei Kreisen").
> aber ich würde mir das auch mal gerne seriös überlegen
Es ist gut, wenn Du versuchst, die mathematische Substanz in dem Problem angemessener Abstraktheit möglichst prägant auf den Punkt zu bringen. Aber sich nicht ausreichend an den theoretischen Hintergrund angekoppelte blosse Kochrezepte merken zu wollen, ist kaum je sinnvoll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 22.07.2008 | | Autor: | Bersling |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ich habe das soweit begriffen, was du gesagt hast.
Ich werde versuchen mir deine Lerntipps zu Herzen zu nehmen!
Viele Grüsse,
Daniel
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