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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:39 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu Lebesgue-Integralen und da speziell zur Transformationsformel.
Und zwar verstehe ich die Lösung zu folgender Aufgabe:
Man berechne:
[mm]\int_{M} |x|*(1-x^2-(y-1)^2)\, d\lambda_2(x,y)[/mm], wobei
[mm]M=\left\{(x,y)^t \in \IR^2; y>=x+1, x^2+(y-1)^2<=1\right\}[/mm].
So, nun die Lösung zur Aufgabe.
Ich hoffe, dass mir diese jemand verdeutlichen kann!
Lösung:
Sowohl die Abbildung (x,y)->x-y als auch [mm] (x,y)->x^2+(y-1)^2 [/mm] sind stetig diff´bar mit neg. Wert 1.
(Frage: Wie kommt man auf die erste Abbildung und was hat es mit "neg. Wert 1" auf sich?)
Der Rand von M ist eine Nullmenge.
(Klar, aber warum isst das wichtig?)
[mm]g:(u,v)^t -> (-u,v+1)^t[/mm] ist ein Diffeomorphismus mit detDg=-1.
[mm]g(M offen) = \left\{(x,y) \in \IR^2;y>-x, x^2+y^2<1\right\}[/mm]
(Frage: Wie erhält man den Diffeomorphismus? Das ist mir überhaupt nicht klar.
Wie erhält man g(M offen)?
Warum verwendet man hier zum Beispiel schon keine Transformation in Polarkoordinaten, was wir bislang immer sehr häufig gemacht haben?)
Rechnung:
[mm]\int_{M} |x|*(1-x^2-(y-1)^2)\, d\lambda_2(x,y)[/mm]
=[mm]\int_{g(M offen)} |x|*(1-x^2-y^2)\, d\lambda_2(x,y)[/mm]
=[mm]\int_{g(M) offen} |x|*(1-x^2-y^2)\, d\lambda_2(x,y)[/mm]
Anschließend führt man eine Transformation mit Polarkoordinaten durch.
Aber warum Polarkoordinaten und nicht zum Beispiel Zylinder- oder Kugelkoordinaten?
Das Ergebnis ist übrigens 4/15.
Die Rechnung ist aber nicht das Problem, wie ihr vielleicht merkt.
Vielleicht noch eine allgemeine Frage zu diesem Thema:
Wie auch hier, betrachtet man häufig Nullmengen und nimmt diese aus einer Menge heraus, um dann die Transormationsformel zu benutzen.
Aber warum?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Sa 30.04.2005 | | Autor: | matux |
Hallo [mm] $\wurzel{\pi}$! [/mm]
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