Transformationsformel < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:22 Di 23.06.2009 | | Autor: | Rimtech |
| Aufgabe | Zeigen sie die Transformationsformel:
M(B->B)(D) = T(A->B) * M(A->A)(D) * (T(A->B))^(-1) |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich das allgemein beweisen soll...
(T(A->B))^(-1) ist ja gleich T(B->A)
wie gehe ich hier vor?
danke schonmal für beiträge
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen sie die Transformationsformel:
> M(B->B)(D) = T(A->B) * M(A->A)(D) * (T(A->B))^(-1)
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich das allgemein
> beweisen soll...
Hallo,
auch wenn ich mir die Bedeutung der Buchstaben einigermaßen zusammenreimen kann, finde ich es doch nicht unpassend, die komplette Aufgabenstellung zu posten, also zu erzählen, daß D eine lineare Abbildung von ... nach .. ist, daß A und B Basen dieser Räume sein sollen.
Ich würde nun ungern bei Adam und Eva beginnen, zumal ich den starken Verdacht habe, daß Ihr vielleicht schon irgendwo aufgeschreiben habt, was sich hinter den 4 Matrizen verbirgt.
Vielleicht verrätst Du uns das mal, denn das wäre das ja Material, mit dem man zu arbeiten hätte.
> (T(A->B))^(-1) ist ja gleich T(B->A)
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Di 23.06.2009 | | Autor: | Rimtech |
Die lineare Abbildung ist so definiert:
D: K[t] -> K[t], a0 + a1*t + a2*t² + a3*t³ |-------> a1 + 2a2*t + 3a3*t²
Dabei sind die zahlen nach den as die indizes, das ist also eine "ableitungsabbildung"
Die Basen A und B lauten: A = {1,t,t²,t³} und B={t³,t²,t,1}
Ich habe T(A->B) und T(B->A) schon bestimmt, die lauten:
T(A->B) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] (einheitsmatrix)
T(B->A) = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 } [/mm] (gespiegelte einheitsmatrix)
So jetzt versuche ich M(A->A)(D) zu bestimmen:
Bilder der Basisvektoren = Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix, also:
D(1 + 0t + 0t² + 0t³) = 0 + 0 + 2*0t + 3*0t²
D(0 + 1t + 0t² + 0t³) = 0 + 1 + 2*0t + 3*0t²
D(0 + 0t + 1t² + 0t³) = 0 + 0 + 2*1t + 3*0t²
D(0 + 0t + 0t² + 1t³) = 0 + 0 + 2*0t + 3*1t²
also lautet D(A->A) = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 }
[/mm]
nun D(B->B):
D(1t³ + 0t² + 0t + 0) = 3*1t² + 2*0t + 0 + 0
D(0t³ + 1t² + 0t + 0) = 3*0t² + 2*1t + 0 + 0
D(0t³ + 0t² + 1t + 0) = 3*0t² + 2*0t + 1 + 0
D(0t³ + 0t² + 0t + 1) = 3*0t² + 2*0t + 0 + 0
D(B->B) = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Und jetzt setze ich alles in die Transformationsformel ein und zeige dass die Gleichung stimmt.
Aber irgendetwas habe ich flasch gemacht weil das nicht rauskommt wenn ich die 3 Matrizen auf der rechten seite der formel multipliziere kommt [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\3 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
dies matrix raus :-?
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Himmel!
Deine Aufgabe ist viiiiiiel konkreter, als ich dachte!
> Die lineare Abbildung ist so definiert:
> D: K[t] -> K[t], a0 + a1*t + a2*t² + a3*t³ |-------> a1 + 2a2*t + 3a3*t²
> Dabei sind die zahlen nach den as die indizes, das ist also eine "ableitungsabbildung"
> Die Basen A und B lauten: A = {1,t,t²,t³} und B={t³,t²,t,1}
Indizes bekommst Du mit einem Unterstrich und dann den Index in geschweiften Klammern. Wenn's nur eine Ziffer oder nur ein Buchstabe ist, kannst Du die Klammern auch weglassen.
>
> Ich habe T(A->B) und T(B->A) schon bestimmt, die lauten:
> T(A->B) = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 }[/mm] (einheitsmatrix)
Das kann nicht sein.
Wenn die Transformationsmatrix die Enheitsmatrix ist, dann wird ja nichts transformiert.
Für T(A->B) müssen wir die Basisvektoren von A in Koordinaten bzgl B schreiben.
Beachte, daß wir die Reihenfolge der Basisvektoren peinlichst genau einhalten müssen.
1.Basisvektor von A als Linearkombination der Basisvektoren von B:
[mm] 1=0*t^3+0*t^2+0*t+1*1=\vektor{0\\0\\0\\1}_{(B]}
[/mm]
Dieser Koordinatenvektor bzgl B wäre die erste Spalte der Matrix T(A->B)
Die anderen bekommst Du jetzt selber hin.
> T(B->A) = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 }[/mm] (gespiegelte einheitsmatrix)
Die hast Du (komischerweise) richtig gemacht.
> So jetzt versuche ich M(A->A)(D) zu bestimmen:
> Bilder der Basisvektoren = Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix, also:
> D(1 + 0t + 0t² + 0t³) = 0 + 0 + 2*0t + 3*0t²
> D(0 + 1t + 0t² + 0t³) = 0 + 1 + 2*0t + 3*0t²
> D(0 + 0t + 1t² + 0t³) = 0 + 0 + 2*1t + 3*0t²
> D(0 + 0t + 0t² + 1t³) = 0 + 0 + 2*0t + 3*1t²
>
> also lautet D(A->A) = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
EDIT: Ja, richtig. Schau mal, wie ich's unten bei der anderen Darstellungsmatrix vormache.
> nun D(B->B):
> D(1t³ + 0t² + 0t + 0) = 3*1t² + 2*0t + 0 + 0
Für den Zweck, den Du verfolgst, nämlich das Bild von [mm] t^3 [/mm] in der Basis B darzustellen, mußt Du mit dem ersten Basisvektor von B beginnen, also mit [mm] t^3:
[/mm]
D(1t³ + 0t² + 0t + 0) = [mm] \red{0*t^3} [/mm] +3*1t² + 2*0t + 0*1= [mm] \vektor{0\\3\\0\\0}_{(B)},
[/mm]
und dieser Koordinatenvektor bzgl B ist der erste Eintrag der gesuchten Darstellungsmatrix.
Die anderen entsprechend.
Damit solltest Du dann hinkommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Rimtech |
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe! =)
Du hast mir gezeigt wie man M(B->B)(D) ausrechnet, weil meine Matrix falsch war; doch dann ist doch meine Matrix für M(A->A)(D) auch falsch. Du sagtest "Ja, richtig", aber wenn ich die genauso wie die von B rechne ergibt sich auch eine andere matrix
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>doch dann ist doch meine Matrix
> für M(A->A)(D) auch falsch. Du sagtest "Ja, richtig",
Oh weh! Ich war unaufmerksam:
Du hast völlig recht, die richtige Matrix sieht anders aus, die obere Zeile gehört in die untere.
Gruß v, Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Do 25.06.2009 | | Autor: | Rimtech |
okay alles klar, danke nochmal
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