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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Mareike |
Hallo,
ich beiße mir schon seit Tagen die Zähne an der Aufgabe aus. Ich habe keinen Schimmer, wie ich die Transformationsformel hier anwenden soll... vielleicht kann mir da jemand helfen??
Also: Sei [mm] \phi: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] definiert durch [mm] \phi(u,v)=(u+v,v-u^2). [/mm] Sei T das Dreieck mit den Ecken (0,0), (2,0), (0,2) und [mm] S=\phi(T)
[/mm]
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S als [mm] \integral \integral_T [/mm] f(u,v)du dv für geeignetes f.
b) Berechnen Sie [mm] \integral \integral_S \bruch{dx dy}{(x-y+1)^2}.
[/mm]
Für den Transformationssatz benötige ich die Funktionaldeterminante von [mm] \phi. [/mm] Die habe ich berechnet. Sie ist 1+2u.
aber wie komme ich auf das geeigente f? und was mache ich mit den Grenzen der Integrale....
Keinen blassen Schimmer...
Vielen lieben Dank für Hilfe!
mareike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mareike
> Hallo,
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> ich beiße mir schon seit Tagen die Zähne an der Aufgabe
> aus. Ich habe keinen Schimmer, wie ich die
> Transformationsformel hier anwenden soll... vielleicht kann
> mir da jemand helfen??
>
Vielleicht lässt du dir beim Zahnarzt die Zähne schleifen? 
> Also: Sei [mm]\phi: \IR^2 \to \IR^2[/mm] definiert durch
> [mm]\phi(u,v)=(u+v,v-u^2).[/mm] Sei T das Dreieck mit den Ecken
> (0,0), (2,0), (0,2) und [mm]S=\phi(T)
[/mm]
>
Da würde ich dringend empfehlen, eine Zeichnung zu machen, damit die Sachlage klar wird. Ein $u-v$-Achsenkreuz und daneben ein $x-y$-Achsenkreuz. (Bitte gleich machen, während du jetzt weiterliest!)
Dann zeichnest du dir in der $u-v$-Ebene das gegebene Dreieck ein. Es wird begrenzt durch die $u$-Achse, die $v$-Achse und die Gerade $v=u-2$
Wenn du jemals über diesem Dreieck etwas zu integrieren hast, dann erkennst du, dass, wenn du $u$ von $0$ bis $2$ laufen lässt, dann $v$ von $0$ bis $2-u$ laufen muss, um das Dreieck abzudecken.
Oder auch umgekehrt: wenn du $v$ von $0$ bis $2$ laufen lässt, dann muss $u$ von $0$ bis $2-v$ laufen, um das Dreieck abzudecken.
Wie sieht das Bild des Dreieckes in der $x-y$-Ebene aus?
Das gibt eine Fläche, die begrenzt ist durch:
die Gerade $y=x$ (diese Gerade ist das Bild der $v$-Achse),
die Gerade $x=2$ (das Bild der Geraden $v=2-u$) und
die Parabel [mm] $y=-x^{2}$ [/mm] (das Bild der $u$-Achse)
Was sehr nützlich ist, auf der $u-v$-Ebene ein "Netz" über dem Dreieck zu zeichnen (oder auch darüber hinaus), zum Beispiel gebildet durch die Geraden [mm] $v=\bruch{1}{2}$, [/mm] $v=1$ und [mm] $v=\bruch{3}{2}$ [/mm] sowie [mm] $u=\bruch{1}{2}$, [/mm] $u=1$ und [mm] $u=\bruch{3}{2}$ [/mm] und die Bilder davon in der $x-y-$Ebene einzuzeichnen.
Das ergibt dann in der $x-y$-Ebene ebenfalls ein "Netz": viereckige Gebilde, die durch Parabeln und parallele Geraden begrenzt sind.
An diesem Bild erkennst du schon, dass die Flächen der "Netzquadrate" der $u-v$-Ebene durch die Funktion [mm] $\Phi [/mm] (u,v)$ vergrössert werden.
Kennst du den Vergrösserungsfaktor, wenn du ein klitzekleines Quadrätchen aus der $u-v$-Ebene mit seinem Bild in der $x-y$-Ebene vergleichst?
Ja genau: das ist gerade deine errechnete Funktionaldeterminante $1+2u$ 
Was bedeutet das jetzt?
Das bedeutet, dass gilt: $dxdy = (1+2u)* dudv$
Das kannst du so interpretieren: wenn ich eine Funktion über $S$ integrieren muss, dann kann ich diese Funktion auch über der entsprechenden Fläche in der $u-v$-Ebene integrieren, muss aber die Verzerrung der $dxdy$ mit dem Faktor $(1+2u)$ ausgleichen. (Die $dudv$ sind ja kleiner, wie du auf der Zeichnung deutlich siehst).
Es gilt also: [mm] $\integral \integral_S [/mm] f(x,y) [mm] \, [/mm] dxdy = [mm] \integral \integral_T \tilde{f}(u,v) [/mm] * (1+2u) [mm] \, [/mm] dudv$
wobei [mm] $\tilde{f}$ [/mm] durch richtiges Substituieren der $x$- und $y$-Werte in $f$ entsteht.
Das hat den grossen Vorteil, dass die Integrationsgrenzen im gegebenen Dreieck $T$ sehr einfach sind (siehe oben), wohingegen $S$ unter anderm durch Parabeln begrenzt ist, was die Integrationsgrenzen nicht gerade einfacher macht (gut, in diesem Beispiel wäre es auch nicht allzu kompliziert ). Manchmal, und das scheint in der 2. Teilaufgabe der Fall zu sein, wird dadurch auch die zu integrierende Funktion einfacher in dem Sinne, dass sich eine Stammfunktion leichter finden lässt.
Hoffentlich konntest du bis hierhin alles nachvollziehen. Das wäre wichtig, um das Folgende jetzt einfach so aus dem Aermel schütteln zu können. Mit obigen Erkenntnissen wird die Aufgabe nämlich (fast) kinderleicht!
> a) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S als [mm]\integral \integral_T[/mm]
> f(u,v)du dv für geeignetes f.
>
Das sollte jetzt nicht mehr allzu schwierig sein. Um die Fläche von $S$ zu berechnen, muss ja bekanntlich die konstante Funktion $1$ über der Fläche integriert werden. Mit der obigen Erkenntnis ist das jetzt nicht mehr sehr schwer, auf das Integral über der Fläche $T$ zu übertragen.
Ein kleiner Tip am Rande: die zu integrierende Funktion hängt nur von $u$ ab. Somit würde ich zuerst das $dv$ auswerten, und erst nachher das $du$.
> b) Berechnen Sie [mm]\integral \integral_S \bruch{dx dy}{(x-y+1)^2}.
[/mm]
>
Auch das sollte nicht mehr allzu schwierig sein. Das Integral wertest du natürlich auch über $T$ aus. Jetzt ist halt einfach die Funktion, die über $S$ integriert werden soll, nicht mehr die konstante Funktion $1$, sondern eben [mm] $\bruch{1}{(x-y+1)^{2}}$
[/mm]
(Mit $x=u+v$ und [mm] $y=v-u^{2}$ [/mm] kannst du ja $x-y+1$ ziemlich einfach berechnen)
>
> Für den Transformationssatz benötige ich die
> Funktionaldeterminante von [mm]\phi.[/mm] Die habe ich berechnet.
> Sie ist 1+2u.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber wie komme ich auf das geeigente f? und was mache ich
> mit den Grenzen der Integrale....
>
Siehe oben ...
> Keinen blassen Schimmer...
>
... aber jetzt vielleicht schon? ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]")
Ich hoffe sehr, dass du jetzt ein Bisserl weiter kommst. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Wenn du weitere Fragen hast, dann meldest du dich einfach wieder!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Do 15.07.2004 | | Autor: | Mareike |
Hallo Paulus!
Vielen Dank für Deine Hilfe. Ich habe mich brav hingesetzt und versucht, Deine Anweisungen nachzumalen.
Leider hat es nicht ganz geklappt. Ich bin schon direkt am Anfang gescheitert, weil ich nicht verstehen kann,
warum v=u-2 die Fläche begrenzt. Ist es nicht eigentlich einmal die u-Achse, einmal die Konstante u=2 und einmal
v=v bis zum Wert 2... (wobei mir da auffällt, dass das wahrschinlich die Gerade ist....).
Na jedenfalls wollte ich mich ganz lieb bedanken, auch wenn ich noch nicht ganz bis zur Lösung gekommen bin
(meine Zähne sind jetzt geschärft). Aber der Übungszettel muss in einer halben Stunde weg- ich gebe auf und hoffe
auf und hoffe auf eine Lösung in der Uni... (eigentlich ist das ja kein Grund, es nicht weiter zu versuchen. Schreibe aber
nächsten Sa. LAII und darauf die WOche AnaII und dafür sollte ich lieber die Zähnchen einsetzen).
Jedenfalls fand ich es auch doof, mich nicht wenigstens zu melden, damit Du weißt, dass die Mühe sich - wenn auch nicht
100%, so doch ein wenig, gelohnt hat.
Viele Grüße
Mareike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Do 15.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mareike
das ist aber jammerschade, dass wir die Aufgabe nicht mehr lösen können. Das ist nämlich meiner Meinung nach eine Super-Aufgabe, um die Transformationen zu kapieren.
Ich denke, wenn das Dreieck doch die Ecken $A(0,0)$, $B(2,0)$ und $C(0,2)$ hat, so liegt doch die Seite, die $B$ mit $C$ verbindet, auf der Gerade $v=2-u$.
Oder täusche ich mich da?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Mareike |
Hallo Paulus,
mittlerweile ist mir mein dämlicher Fehler aufgegangen und ich komme natürlich auch auf Deine Begrenzungen! Jaja: manchmal ist schon das Malen eines Dreiecks schwer *schäm*.
Viele Grüße
Mareike
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