Transformation von Dichten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mo 28.02.2005 | | Autor: | psjan |
Hallo alle,
ich bin in einem Buch auf folgendes gestoßen: Hat man standardnormalverteilte und unabhängige Zufallsvariable [mm] $Z_i$ [/mm] und summiert diese mit Vorfaktoren [mm] $\sqrt{\tau_i}$ [/mm] auf, d.h.
[mm] $S_k:=\sum_{i=1}^k \sqrt{\tau_i} Z_i$
[/mm]
Will man dann die Wahrscheinlichkeit
[mm] $P(\bigcap_{i=1}^K \{ S_k \in I_k \}) [/mm] = [mm] \int_{I_K} \int_{I_{K-1}} \cdots \int_{I_1} g(s_1, \ldots, s_K) ds_1 \ldots ds_K$
[/mm]
berechnen ($g$ sei die noch unbekannte gemeinsame Dichte der [mm] $s_i$, [/mm] die [mm] $I_i$ [/mm] seien Intervalle), so kommt man angeblich per Transformationssatz für Dichten darauf, dass das letzte Integral gleich
[mm] $\int_{\{z_K: \sqrt{\tau_K}z_K \in I_K - s_{K-1} \}} \int_{I_{K-1}} \cdots \int_{I_1} g(s_1, \ldots, s_{K-1}, z_K) ds_1 \ldots ds_{K-1} dz_K$
[/mm]
ist. (Frage hier schon mal: hier fehlt doch schon einmal eine Ableitung der Umkehrung der Transformation, oder was?!)
Weil [mm] $Z_K$ [/mm] und die [mm] $S_i$ [/mm] unabhängig sind, kann man die Dichte aufspalten (ok, da mach ich noch mit ...) und kommt zu:
[mm] $\int_{I_K} \int_{I_{K-1}} \cdots \int_{I_1} g(s_1, \ldots, s_{K-1}) \cdot \frac{1}{\sqrt{\tau_K}} \varphi (\frac{z_K - s_{K-1}}{\sqrt{\tau_K}}) ds_1 \ldots ds_{K-1} dz_K$
[/mm]
[mm] $\varphi$ [/mm] soll hier die Dichte der Standardnormalverteilung sein.
Ok, und hier hakt's dann wieder aus :( Die Dichte [mm] $\varphi$ [/mm] macht mir kein Problem, aber dann diese Transformation im Argument ... Ich habe mir schon diverse Anwendungen der Substitutionsregel und des Transformationssatzes für Dichten überlegt, aber irgendwie komme ich nie da an, wo der Autor am Ende ankommt.
Hat einer ne Idee?
Vielen Dank schon mal ...
psjan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:11 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe den Eindruck du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht  , denn es ist eine ganz normale Transformation. An der Stelle, wo du meinst dort wäre eine Transformation, schreibt man nur um.
Ich will es mal etwas anders (maßtheoretisch motivierter) und ausführlicher darstellen, dann sollte es dir klar sein:
$P [mm] \left( \bigcap_{k=1}^K \{S_k \in I_k\} \right)$
[/mm]
$= [mm] \int 1_{\{S_1 \in I_1\} \cap \{S_2 \in T_2\} \cap \ldots \cap \{S_{K-1} \in I_{K-1}\} \cap \{S_K \in I_K\}}(\omega) P(d\omega)$
[/mm]
$= [mm] \int 1_{\{S_1 \in I_1\} \cap \{S_2 \in T_2\} \cap \ldots \cap \{S_{K-1} \in I_{K-1}\} \cap \{S_{K-1} + \sqrt{\tau_K} Z_K \in I_K\}}(\omega) P(d\omega)$
[/mm]
$= [mm] \int 1_{\{S_1 \in I_1\} \cap \{S_2 \in T_2\} \cap \ldots \cap \{S_{K-1} \in I_{K-1}\} \cap \{Z_K \in \frac{1}{\sqrt{\tau_K}}(I_k - S_{K-1})\}}(\omega) P(d\omega)$
[/mm]
(bis dahin: alles nur Definitionen und umgeformt)
$= [mm] \int 1_{I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_{K-1} \times \frac{1}{\sqrt{\tau_K}}(I_k-s_{k-1})}(s_1,s_2,\ldots,s_{K-1},z_K)P_{S_1 \otimes S_2 \otimes \ldots \otimes S_{K-1} \otimes Z_K}(d(s_1,s_2,\ldots,s_{K-1},z_K))$
[/mm]
(mehrdimensionale Transformationsformel für Bildmaße)
$= [mm] \int 1_{I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_{K-1} \times \frac{1}{\sqrt{\tau_K}}(T_k- s_{k-1})}(s_1,s_2,\ldots,s_{K-1},z_K)\left(P_{S_1 \otimes S_2 \otimes \ldots \otimes S_{K-1}} \otimes P_{Z_K}\right)(d(s_1,s_2,\ldots,s_{K-1},z_K))$
[/mm]
(Unabhängigkeit)
$= [mm] \int\limits_{I_1\times I_2 \times \ldots \times I_{K-1}} \int\limits_{\frac{1}{\sqrt{\tau_K}}(I_K-s_{K-1})} P_{Z_K}(dz_K) P_{S_1 \otimes S_2 \otimes \ldots \otimes S_{K-1}}(d(s_1,s_2,\ldots,s_{K-1}))$
[/mm]
(Fubini)
$= [mm] \int\limits_{I_1\times I_2 \times \ldots \times I_{K-1}} \int\limits_{\frac{1}{\sqrt{\tau_K}}(I_K-s_{K-1})} \varphi(z_K)\, dz_K P_{S_1 \otimes S_2 \otimes \ldots \otimes S_{K-1}}(d(s_1,s_2,\ldots,s_{K-1}))$
[/mm]
(da [mm] $\blue{Z_K}$ [/mm] standardnormalverteilt ist)
$= [mm] \int\limits_{I_1\times I_2 \times \ldots \times I_{K-1}} \frac{1}{\sqrt{\tau_K}} \int\limits_{I_K} \varphi\left(\frac{z_K-s_K}{\sqrt{\tau_K}}\right)\, dz_K P_{S_1 \otimes S_2 \otimes \ldots \otimes S_{K-1}}(d(s_1,s_2,\ldots,s_{K-1}))$
[/mm]
(eindimensionale Transformation [mm] $\blue{z_K \mapsto \frac{z_K-s_K}{\sqrt{\tau_K}}}$)
[/mm]
[mm] $\int_{I_1} \int_{I_2} \ldots \int_{I_{K-1}} \frac{1}{\sqrt{\tau_K}} \int\limits_{I_K} \varphi\left(\frac{z_K-s_K}{\sqrt{\tau_K}}\right)\, dz_K \, g_{K-1}(s_1,\ldots,s_{K-1})ds_1ds_2\ldots ds_{K-1}$
[/mm]
(da [mm] $\blue{S_1 \otimes S_2 \otimes \ldots \otimes S_{K-1}}$ [/mm] die Dichte [mm] $\blue{g_{K-1}}$ [/mm] hat)
und dann noch mal Fubini...
Das war's dann wohl, denke ich. ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Sa 05.03.2005 | | Autor: | psjan |
Hallo Stefan,
ja so macht das mehr Sinn ... :)
Vielen Dank für die Mühe !
Grüße
psj
|
|
|
|
