Transformation der Delta-Distr < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Mi 24.10.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | Ist T eine Temperierte Distribution, so wird ihre Fourier-Transformation durch die Gleichung [mm] \hat T(\hat\phi) [/mm] = [mm] T(\phi) \forall\phi\in\mathcal [/mm] S (Raum der schnell fallenden Funktionen) definiert.
Zeigen Sie mit dieser Definition, dass für die Deltadistribution [mm] {\hat\delta} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] und [mm] {\hat 1} =\delta [/mm] gilt. |
Hallo,
ich habe einige Fragen zu obiger Aufgabe:
1. Kann es sein, dass die Definition so wie sie in der Aufgabe gegeben ist falsch ist? Die Aufgabe stammt aus einem Physik-Übungsblatt, ich kenne die Definition für Distributionen aber nur als [mm] \hat T(\phi) [/mm] = [mm] T(\hat\phi). [/mm] Oder ist das äquivalent?
2. Selbiges Übungsblatt definiert die Fourier-Transformation als [mm] {\hat f}: k\mapsto\int_{-\infty}^\infty \exp(-ikx) [/mm] f(x)dx.
Kann dann überhaupt folgen, dass [mm] {\hat\delta} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] ?
Es gilt doch [mm] \hat\delta [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^\infty \delta(x)\exp(-ikx)dx [/mm] = [mm] \exp(-ik\cdot [/mm] 0)=1.
Genauso erhalte ich mit der Def. [mm] \langle\hat\delta,\phi\rangle [/mm] = [mm] \langle\delta,\hat\phi\rangle, [/mm] dass
[mm] \langle\hat\delta,\phi\rangle [/mm] = [mm] \delta\left(\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\exp(-ikx) dx\right) [/mm] = [mm] \langle 1,\phi\rangle, [/mm] also [mm] \hat\delta [/mm] = 1.
Kann da vielleicht wer etwas Licht ins Dunkel bringen? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Do 25.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo adefg,
aus der Signaltheorie kenne ich auch nur den Zusammenhang, dass die Deltadistribution im Zeitbereich zu einer glatten 1 im Frequenzbereich führt. Der Faktor [mm] \bruch{1}{2 \pi} [/mm] ist der Normierungsfaktor für die Rücktransformation. Was es noch gibt, ist, dass man diesen Normierungsfaktor gleichmäßig auf die Hin- und die Rücktransformation aufteilt. Entsprechend taucht dann bei beiden Transformationen ein Faktor [mm] \wurzel{\bruch{1}{2 \pi}} [/mm] auf.
Viele Grüße,
Infinit
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