Transformation Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Di 29.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \integral_{D} \integral (x^{2}+y^{2}) [/mm] dxdy, wobei D von den Hyperbeln [mm] x^{2}-y^{2}=1, x^{2}-y^{2}=3 [/mm] , xy=2 und xy=4 begrenzt wird.
(Hinweis: Substituieren Sie [mm] u=x^{2}-y^{2} [/mm] , v=2xy |
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht sehr weit. Man erhält durch die Substitution:
u=1
u=3 --> Ich habe 1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 3
v=4
v=8 --> Ich habe 4 [mm] \le [/mm] v [mm] \le [/mm] 8
Dies sind also schonmal die Grenzen oder?
Jetzt muss ich noc das Doppelintegral umformen, sodass es u und v enthält oder? Doch wie mache ich das? Ich muss ja auch die Funktionaldeterminante dafür berechnen etc. doch leider weiss ich nicht wie ich vorgehen soll.
Danke
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Hallo tobe,
> Berechnen Sie [mm]\integral_{D} \integral (x^{2}+y^{2})[/mm] dxdy,
> wobei D von den Hyperbeln [mm]x^{2}-y^{2}=1, x^{2}-y^{2}=3[/mm] ,
> xy=2 und xy=4 begrenzt wird.
>
> (Hinweis: Substituieren Sie [mm]u=x^{2}-y^{2}[/mm] , v=2xy
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht sehr weit. Man
> erhält durch die Substitution:
>
> u=1
> u=3 --> Ich habe 1 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 3
> v=4
> v=8 --> Ich habe 4 [mm]\le[/mm] v [mm]\le[/mm] 8
>
> Dies sind also schonmal die Grenzen oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt muss ich noc das Doppelintegral umformen, sodass es u
> und v enthält oder? Doch wie mache ich das? Ich muss ja
> auch die Funktionaldeterminante dafür berechnen etc. doch
> leider weiss ich nicht wie ich vorgehen soll.
Dann berechne sie einfach:
[mm]\vmat{u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y}}=u_{x}*v_{y}-u_{y}*v_{x}[/mm]
Dann ist
[mm]du \ dv = \left( u_{x}*v_{y}-u_{y}*v_{x}\right) \ dx \ dy[/mm]
>
> Danke
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Di 29.04.2008 | | Autor: | tobe |
Die Determinante ist dann [mm] 4x^{2}+4y^{2}
[/mm]
Das heisst doch dass mein neues Integral nun folgendermaßen lautet:
[mm] \integral \integral (x^{2}+y^{2})(4x^{2}+4y^{2}) [/mm] dxdy oder?
doch welche Grenzen verwende ich nun? Habe oben ja Grenzen für u und v errechnet und nicht für x und y
Irgend wie stehe ich auf dem Schlauch.
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Hallo tobe,
> Die Determinante ist dann [mm]4x^{2}+4y^{2}[/mm]
>
> Das heisst doch dass mein neues Integral nun folgendermaßen
> lautet:
>
> [mm]\integral \integral (x^{2}+y^{2})(4x^{2}+4y^{2})[/mm] dxdy
> oder?
Ich hab geschrieben, daß dann
[mm]du \ dv = 4*\left(x^{2}+y^{2}\right) \ dx \ dy[/mm]
>
> doch welche Grenzen verwende ich nun? Habe oben ja Grenzen
> für u und v errechnet und nicht für x und y
>
> Irgend wie stehe ich auf dem Schlauch.
Schau mal etwas genauer hin. Findest Du irgendwelche Zusammenhänge zwischen der Determinante und dem Integranden?
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 29.04.2008 | | Autor: | tobe |
Kann ich dann schreiben:
[mm] dudv=4(x^{2}+y^{2})dxdy
[/mm]
-> dxdy= [mm] \bruch{dudv}{4(x^{2}+y^{2})}
[/mm]
-> Ich muss das Integral:
[mm] \integral_{4}^{8} \integral_{1}^{3} \bruch{1}{4} [/mm] dudv = [mm] \integral_{4}^{8} \bruch{1}{2} [/mm] dv = 4-2=2
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 29.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo tobe,
ja, das ist okay so und jetzt siehst Du auch, weswegen man diese etwas komischen Begrenzungen genommen hat. Sonst wäre die Sache komplizierter.
Viele Grüße,
Infinit
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