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Forum "Uni-Stochastik" - Transform. von Random Walks
Transform. von Random Walks < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Transform. von Random Walks: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Mi 04.01.2006
Autor: djmatey

Hallo,
was bedeutet es, wenn eine h-Transformation auf einen Random Walk angewandt wird, wobei h eine harmonische Funktion ist?
Was außerdem ist eigentlich eine harmonische Funktion?
Was bedeutet die Transformation für die Übergangswahrscheinlichkeiten der korrespondierenden Markov-Kette?
Vielen Dank im Voraus.
Beste Grüße,
djmatey

        
Bezug
Transform. von Random Walks: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Do 05.01.2006
Autor: Julius

Hallo!

Ist $I$ ein (abzählbarer) Zustandsraum und haben wir eine Zerlegung $I=D [mm] \cup \partial [/mm] D$, so heißt eine Funktion [mm] $h=(h_i\, [/mm] : [mm] \, [/mm] i [mm] \in [/mm] I)$ harmonisch auf $D$, wenn

$h= P h$

auf $D$ gilt, wobei $P$ die Übergangsmatrix der Markov-Kette ist.

Speziell die Funktion

[mm] $h_i^{\partial} [/mm] = [mm] P_i(T [/mm] < [mm] \infty)$ [/mm]

ist harmonisch, wobei $T$ die erste Treffzeit auf den Rand [mm] $\partial [/mm] D$ ist.

Näheres über die sich daraus ergebende h-Transformation und die neue Übergangsmatrix findest du []hier (Ex.  2.4.9, Seite 43).

Liebe Grüße
Julius

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