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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Es ist eher eine Verständnisfrage.
Ich suche die Trajektorien eines DGL Systems, bei dem ich x und y in Abhängigkeit von t habe (also dreidimensional). Die Trajektorien werden ja in der x,y Ebene dargestellt. Also möchte ich t zur Trajektoriensuche eleminieren. Das geht, sofern y(x) invertierbar ist. Dann gitl:
y'(x(t)=y'(t(x))
es folgt:
y'(x)=y'(t)*t'(x)= dy/dt * dt/dx= dy/dx und ich kann mein System zusammenfassen und habe jetzt y in Abh. von x.
Konkretes Bsp, damit ihr verstehe, was ich meine :
x'(t)=x(-1+y)
y'(t)=y((-1+x)
führt dann zu:
y'(x)= (-1/x+1)/(-1/y+1)
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Frage:
1) Warum kann ich voraussetzen, dass y(x) invertierbar ist bzw. wann kann ich das voraussetzen?
2) Angenommen ich habe die DGL y(x) gelöst und y(x= sind meine Trajektorien. Jetzt möchte ich die Llösung des Systems bestimmen mit konkreten AWP. In einer Aufgabe wurde dann y(x) genommen und die AWP eingesetzt. Aber ich habe doch t eleminiert, warum kann ich die "abgeänderte" DGL nehmen?
Ich hoffe, ihr könnt mir folgen und schonmal vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo, mich interessiert hier nur noch meine 2. Frage, also warum ich die "abgeänderte DGL" als Lösung nehmen kann?
Ich dachte eigentl., dass ich quasi rebust. muss?!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Gleichung y'(x)=f(x,y) liefert dir y=f(x) das kannst du auch schreiben als Kurve [mm] c=\vektor{x\\f(x)}
[/mm]
das DGL system liefert dir mit einer andern parametriesierung auch [mm] c=\vektor{x(t),y(t)} [/mm]
dieselbe Kurve, kann man auf sehr verschiedene Weisen parametrisieren.
in der ersten Form kann man die Kurve auch als graph der fkt x->f(x) sehen, vielleicht stört dich das?
sonst sind die beiden eben einfach verschiedene Darstellungen ein und derselben Kurve (bzw Kurvenschar.
wenn du in y=f(x) ein x1 einsetzt bekommst du nen Punkt der Ebene (x1,f(x1) wenn du in [mm] c=\vektor{x(t),y(t)} [/mm] ein t1 einsetzt berkommst du auch einen Punkt der Ebene (x(t1),y(t1)) falls x(t1)=x1 ist ist y(t1)=f(x1)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo leduart,
danke für deine Antwort. Ja ich glaube, ich war etwas verwirrt, wie alles zusammen hängt. Habe es jetzt aber (hoffe ich) verstanden.
Nun geht es bei mir eher darum, wie ich die Lösung eines DGL-Systems als Phasendiagramm skizziere. Vllt. könntest du dir mal diesen Thread von mir anschauen. Denn, falls in der Klausur eine Aufgabe zur Trajektorien skizzieren kommt und ich ein DGL-System habe, dass konstanten Koeff. hat, dann wähle ich wohl eher die Methode mit den Eigenwerten. Dazu muss ich allerdings noch ein wenig über das Phasendiagramm wissen.
Danke nochmals.
Der andere Thread heíßt Phasenportrait, Lösung
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