Trageseil einer Brücke < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 11. Der Verlauf des Trageseiles einer Hängebrücke kann durch eine Kettenlinie angenähert werden. Diese ist der Graph der Funktion
[mm] f_{a;c}(x)=\bruch{a}{2c}*(e^{cx}+e^{-cx}) [/mm] mit a,c > 0, x in Metern, y in Metern.
a) Untersuchen Sie den Graphen von [mm] f_{a;c} [/mm] auf Symmetrie.
b) Berechnen Sie das Minimum der Funktion [mm] f_{a;c}
[/mm]
c) Bestimmen Sie a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5m über der Fahrbahnerreicht, die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200m und je 30m hochsind. |
Hallo Leute
a) Symmetrie an der Y-Achse vorhanden...da f(x)=f(-x)
b) erste Ableitung f'(x)= [mm] \bruch{a}{2c}*(ce^{cx}-ce^{-cx})
[/mm]
null gesetz dann bekam ich 0 = 2cx und deshalb [mm] x_{e}=0
[/mm]
Tiefpunkt bei (0 / [mm] \bruch{a}{c})
[/mm]
so bei c)
ich weiss folgendes : f(100)=30 / f(-100)=30 und [mm] \bruch{a}{c}=muss [/mm] 5 sein(weil dort das Minimum sein soll(Tiefpunkt)) --> bzw 2.5 für den ersten Faktor [mm] \bruch{a}{2c}
[/mm]
Wir setzten in die Funktion ein den Punkt f(100) und [mm] \bruch{a}{2c}=2.5
[/mm]
[mm] 30=2.5*(e^{100*c}+e^{-100*c})
[/mm]
--> Nach c umstellen
[mm] ln(12)=-20000c^{2}
[/mm]
Hm wo ist da mein Fehler? Schon beim Ansatz oder verrechnet weil ich ja aus negative Zahlen keine Wurzel ziehen kann?
Grüße, Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Sa 25.11.2006 | | Autor: | chrisno |
> 11. Der Verlauf des Trageseiles einer Hängebrücke kann
> durch eine Kettenlinie angenähert werden. Diese ist der
> Graph der Funktion
> [mm]f_{a;c}(x)=\bruch{a}{2c}*(e^{cx}+e^{-cx})[/mm] mit a,c > 0, x
> in Metern, y in Metern.
>
> a) Untersuchen Sie den Graphen von [mm]f_{a;c}[/mm] auf Symmetrie.
> b) Berechnen Sie das Minimum der Funktion [mm]f_{a;c}[/mm]
> c) Bestimmen Sie a und c so, dass das Seil den tiefsten
> Punkt mit 5m über der Fahrbahnerreicht, die beiden
> Aufhängepunkte einen Abstand von 200m und je 30m hochsind.
>
> Hallo Leute
>
> a) Symmetrie an der Y-Achse vorhanden...da f(x)=f(-x)
> b) erste Ableitung f'(x)=
> [mm]\bruch{a}{2c}*(ce^{cx}-ce^{-cx})[/mm]
ok
> null gesetz dann bekam ich 0 = 2cx und deshalb [mm]x_{e}=0[/mm]
> Tiefpunkt bei (0 / [mm]\bruch{a}{c})[/mm]
ok
>
> so bei c)
> ich weiss folgendes : f(100)=30 / f(-100)=30 und
> [mm]\bruch{a}{c}=muss[/mm] 5 sein(weil dort das Minimum sein
> soll(Tiefpunkt)) --> bzw 2.5 für den ersten Faktor
> [mm]\bruch{a}{2c}[/mm]
> Wir setzten in die Funktion ein den Punkt f(100) und
> [mm]\bruch{a}{2c}=2.5[/mm]
>
> [mm]30=2.5*(e^{100*c}+e^{-100*c})[/mm]
ok
> --> Nach c umstellen
> [mm]ln(12)=-20000c^{2}[/mm]
nein, das rechne mal langsam vor.
Die Umkehrfunktion für [mm] $y=\bruch{e^x+e^{-x}}{2}$ [/mm] lautet:
[mm] $y=ln(x+\wurzel{x^2-1})$. [/mm] Die Herleitung dazu habe ich gerade nicht präsent.
>
> Hm wo ist da mein Fehler? Schon beim Ansatz oder verrechnet
> weil ich ja aus negative Zahlen keine Wurzel ziehen kann?
>
> Grüße, Daniel
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Okay ich rechne es langsam vor für dich ;)
P.S Ich hab keine ahnung wieso du die umkehrfunktion gebildet hast und wieso die so ausieht (woher das 1/2 kommt)..
Naja jut...aufjedenfall --->
[mm] 30=2.5*(e^{100*c}+e^{-100*c}) [/mm]
[mm] 12=e^{100*c}+e^{-100*c} [/mm]
[mm] ln(12)=ln(e^{100*c}+e^{-100*c})
[/mm]
ln(12)=-100c*100c*ln(e+e)
[mm] ln(12)=-10000c^2*ln(2e)
[/mm]
[mm] \bruch{ln(12)}{ln(2e)}=-10000c^2 [/mm]
Und wieder kann ich keine Wurzel ziehen :-(
Gruss Daniel....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blaub33r3!
> [mm]30=2.5*(e^{100*c}+e^{-100*c})[/mm]
>
> [mm]12=e^{100*c}+e^{-100*c}[/mm]
>
> [mm]ln(12)=ln(e^{100*c}+e^{-100*c})[/mm]
>
> ln(12)=-100c*100c*ln(e+e)
Ab hier wird es (bzw. ist es!) falsch ... hier wendest Du ein vermeintliches  Logarithmusgesetz an.
Mit [mm] $\e^{-100*c} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^{100*c}}$ [/mm] wird aus der Gleichung $12 \ = \ [mm] e^{100*c}+e^{-100*c}$ [/mm] :
$12 \ = \ [mm] e^{100*c}+\bruch{1}{e^{100*c}}$
[/mm]
Substituiere nun $z \ := \ [mm] e^{100*c} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ c \ = \ [mm] \bruch{1}{100}*\ln(z)$ [/mm] und du erhältst:
$12 \ = \ [mm] z+\bruch{1}{z}$
[/mm]
Kommst Du nun weiter?
Gruß
Loddar
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Erstma danke für dein Bemühen^^
Hm erstmal ne Frage, wieso darf ich Logarithmus oben bei ne Summe nicht anwenden so?? (Dein Link war leer) Kleine Erklärung = thx ;)
Hm also die ersten Schritte waren mir klar von dir aber ich weiss garnicht wieso man auf die idee kommen sollte zu substituieren? Aber ich mich iritiert zudem auch das ich kein [mm] z^{2} [/mm] habe sondern nur z und [mm] z^{-1} [/mm] hm...also ich hab kein plan wie ich das jetz weiter rechne!
Und wieso hast du z nach x nach c aufgelöst?...
x \ = \ [mm] \bruch{1}{100}*\ln(z)[/mm] [/mm]
Grüße, B33r3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 So 26.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blaub33r3!
> Hm erstmal ne Frage, wieso darf ich Logarithmus oben bei
> ne Summe nicht anwenden so?? (Dein Link war leer)
Sollte jetzt klappen: Logarithmus
Denn es gilt in der Regel: [mm] $\log_b(x+y) [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \log_b(x)+\log_b(y)$
[/mm]
> Hm also die ersten Schritte waren mir klar von dir aber ich
> weiss garnicht wieso man auf die idee kommen sollte zu
> substituieren?
Das ist nur zur Vereinfachung / Verdeutlichung der nachfolgenden Berechnung. Man kann darauf auch verzichten ...
> Aber ich mich iritiert zudem auch das ich
> kein [mm]z^{2}[/mm] habe sondern nur z und [mm]z^{-1}[/mm] hm...
Dann multipliziere die gleichung $12 \ = \ [mm] z+\bruch{1}{z} [/mm] mit $z_$ ...
> Und wieso hast du z nach x nach c aufgelöst?...
> x \ = \ [mm]\bruch{1}{100}*\ln(z)[/mm][/mm]
Von meinem kleinen tippfehler mit dem $x_$ mal abgesehen, benötigst Du das am Ende zur Ermittlung von $c_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:28 So 26.11.2006 | | Autor: | Blaub33r3 |
-delete- siehe weiter unten *verplant*
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Okay, sry war gestern einfach nur zu müde und zu nix in der lage^^...(wie man sicher gemerken konnte)
Soo überprüft mal bitte einer kurz ob ich es richtig gemacht habe
[mm] 12=z+\bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] z^{2}-12z+1=0
[/mm]
[mm] z_{1}=12,61
[/mm]
[mm] z_{2}=-0,1
[/mm]
[mm] c=\bruch{1}{100}*ln(z)
[/mm]
c=0,025344901
hoffe das is nu richtig
gruss, daniel^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 So 26.11.2006 | | Autor: | Blaub33r3 |
Okay, es stimmt *freu*
habs gerade mit plotter überprüft..und kanns echt nich fassen das das richtig ist^^... Hab aber noch ne Frage zu dem Subtituieren...soll ich das immer machen wenn 2 sachen gleich sind und ich die sonst nicht zusammen bringen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 So 26.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blaub33r3!
> Hab aber noch ne Frage zu dem Subtituieren...
> soll ich das immer machen wenn 2 sachen
> gleich sind und ich die sonst nicht zusammen bringen kann?
Das kann man so pauschal nicht sagen, da braucht man etwas "Auge" und Erfahrung.
Aber es ist auf jeden Fall hilfreich, wenn man versucht, gleiche Terme zusammenzufassen bzw. zu betrachten.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 So 26.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blaub33r3!
> [mm]12=z+\bruch{1}{z}[/mm]
> [mm]z^{2}-12z+1=0[/mm]
>
> [mm]z_{1}=12,61[/mm]
> [mm]z_{2}=-0,1[/mm]
Hier hat sich aber ein kleiner Rechenfehler eingeschlichen:
[mm] $z_1 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{-12}{2}+\wurzel{6^2-1} [/mm] \ = \ [mm] +6+\wurzel{36-1} [/mm] \ = \ [mm] 6+\wurzel{35} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 11.916$
Ansonsten stimmt's ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 So 26.11.2006 | | Autor: | Blaub33r3 |
okay vielen dank nochmal, die aufgabe hat mich ingesamt aufjedenfall gut gefördert ;D
grüße, daniel
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hallo,
ich muss genau diese aufgabe auch rechnen, hab aber die ersten 4 aufgaben schon gerechnet.
nun sollen wir noch die stellen berechnen, an denen sich das seil ca. 15 m über der fahrbahn befindet.
und
wo ein stuntman das seil mit einem motorrad befahren könnte, wennn er noch eine steigung von 20 % bewältigen kann.
hoffe mir kann jemand helfen, denn ich hab grad irgendwie echt nen brett vorm kopp :-/
glg
steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Di 15.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Bitte keine Doppelposts fabrizieren. Du hast diese Frage nochmals hier gestellt, wo sie Dir auch gerade beantwortet wird.
Gruß
Loddar
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