Trafosatz anwenden < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 02.07.2009 | | Autor: | honey |
Hallo,
wenn ich dieses Integral
[mm]=\int_{\IR^d}^{}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}^d}\bruch{1}{{\left|z \right|^{\alpha}}} e^\bruch{-\left|z \right|^2}{2}\, dz [/mm]
(z ist d-dimensional) mittels Trafosatz in ein 1-dim Integral überführen möchte, wie fange ich da am Besten an?
Ich hab grad einfach ein Brett vorm Kopf.
Lg
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Hallo honey,
> Hallo,
> wenn ich dieses Integral
>
> [mm]=\int_{\IR^d}^{}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}^d}\bruch{1}{{\left|z \right|^{\alpha}}} e^\bruch{-\left|z \right|^2}{2}\, dz[/mm]
>
> (z ist d-dimensional) mittels Trafosatz in ein 1-dim
> Integral überführen möchte, wie fange ich da am Besten
> an?
> Ich hab grad einfach ein Brett vorm Kopf.
Verwende Polarkoordinaten [mm]\left(r, \varphi, \theta_{1}, \ ... \ , \theta_{d-2}\right)[/mm] im [mm]\IR^{d}, \ d >2[/mm]
>
> Lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Sa 04.07.2009 | | Autor: | honey |
Hi,
also wenn ich die Polarkoordinaten angewendet habe, bekomme ich folgendes:
[mm]z_{1}=r\cos\varphi\sin\vartheta_{1}\sin\vartheta_{2}...\sin\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
[mm]z_{2}=r\sin\varphi\sin\vartheta_{1}\sin\vartheta_{2}...\sin\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
[mm]z_{3}=r\cos\vartheta_{1}\sin\vartheta_{2}...\sin\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
[mm]z_{4}=r\cos\vartheta_{2}...\sin\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
...
[mm]z_{d-1}=r\cos\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
[mm]z_{d}=r\cos\vartheta_{d-2}[/mm]
Wenn ich nun [mm] \left| z\right|[/mm] ausrechne erhalte ich [mm] r^{2}[/mm] .
Zusammen mit der Funktionaldeterminanate [mm]det\bruch{\partial(z_{1},..,z_{d})}{\partial(r,\varphi,\vartheta_{1},..,\vartheta_{d-2})}=r^{d-1}\sin\vartheta_{1}\sin^2\vartheta_{2}...\sin^{d-2}\vartheta_{d-2}[/mm]
erhalte ich dann:
[mm]\int_{\IR^{d}}^{}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}^d}\bruch{1}{{\left|z \right|^{\alpha}}} e^\bruch{-\left|z \right|^2}{2}\, dz =\int_{[0,\infty[\times[0,2\pi[\times[0,\pi[\times...\times[0,\pi[}^{}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}^d}r^{d-1}\sin\vartheta_{1}\sin^2\vartheta_{2}...\sin^{d-2}\vartheta_{d-2}\bruch{1}{{r^{\alpha}}} e^\bruch{-r^2}{2}\, dr d\varphi d\vartheta_{1} d\vartheta_{d-2}[/mm]
Ist das soweit richtig?
Lg
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Hallo honey,
> Hi,
> also wenn ich die Polarkoordinaten angewendet habe,
> bekomme ich folgendes:
>
> [mm]z_{1}=r\cos\varphi\sin\vartheta_{1}\sin\vartheta_{2}...\sin\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
>
> [mm]z_{2}=r\sin\varphi\sin\vartheta_{1}\sin\vartheta_{2}...\sin\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
>
> [mm]z_{3}=r\cos\vartheta_{1}\sin\vartheta_{2}...\sin\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
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> [mm]z_{4}=r\cos\vartheta_{2}...\sin\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
> ...
> [mm]z_{d-1}=r\cos\vartheta_{d-3}\sin\vartheta_{d-2}[/mm]
> [mm]z_{d}=r\cos\vartheta_{d-2}[/mm]
>
> Wenn ich nun [mm] \left| z\right|[/mm] ausrechne erhalte ich [mm] r^{2}[/mm]
> .
> Zusammen mit der Funktionaldeterminanate
> [mm]det\bruch{\partial(z_{1},..,z_{d})}{\partial(r,\varphi,\vartheta_{1},..,\vartheta_{d-2})}=r^{d-1}\sin\vartheta_{1}\sin^2\vartheta_{2}...\sin^{d-2}\vartheta_{d-2}[/mm]
> erhalte ich dann:
> [mm]\int_{\IR^{d}}^{}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}^d}\bruch{1}{{\left|z \right|^{\alpha}}} e^\bruch{-\left|z \right|^2}{2}\, dz =\int_{[0,\infty[\times[0,2\pi[\times[0,\pi[\times...\times[0,\pi[}^{}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}^d}r^{d-1}\sin\vartheta_{1}\sin^2\vartheta_{2}...\sin^{d-2}\vartheta_{d-2}\bruch{1}{{r^{\alpha}}} e^\bruch{-r^2}{2}\, dr d\varphi d\vartheta_{1} d\vartheta_{d-2}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Die Funktionaldeterminante habe ich nicht nachgerechnet, scheint aber zu stimmen.
Somit stimmt dann auch das erhaltene Integral.
>
> Lg
Gruß
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:29 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Lazarus |
Also um dieses Vielfachintegral berechnen / Abschätzen zu können müssen wir ja die Stammfunktionen von sin(v), [mm] sin^2(v),...,sin^{d-2}(v) [/mm] berechnen... da hab ich folgendes Ergebnis (inklusive Hypergeometrischer Gaussfunktion):
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
vielleicht könnte da mal irgendjemand drüber schauen... danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 06.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:31 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Lazarus |
Also um dieses Vielfachintegral berechnen / Abschätzen zu können müssen wir ja die Stammfunktionen von sin(v), [mm] sin^2(v),...,sin^{d-2}(v) [/mm] berechnen... da hab ich folgendes Ergebnis (inklusive Hypergeometrischer Gaussfunktion):
[Dateianhang nicht öffentlich]
vielleicht könnte da mal irgendjemand drüber schauen... danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 06.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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