Trafo-Satz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne das Volumen des Körper, der von der Fläche
[mm] \bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{9}-z^2=1 [/mm] und von den Ebenen z=1 und z=-1 begrenz ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin,
Kann man jemand bei dieser Aufgabe helfen oder sagen wie man an besten an diese Aufgabe herangehen soll. Ich weiß dass man den Trafosatz anwenden muss, aber da liegt wahrscheinlich auch schon dass problem, dass ich nicht recht verstanden habe. kann mir den jemand evtl an einen leichteren Bsp erklären.
dankeschön.
gruß
questionpeter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 13.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Prinzip von Cavalieri
FRED
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Ich habe hier mal versucht dabei sei
[mm] A=\{(x,y,z)| \bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{9}-z^2=1}=\{(x,y,z)| -1 \le z\le 1, -3\wurzel{1+z^2}\le y \le 3\wurzel{1+z^2}, -2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2} \le x \le 2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}
[/mm]
dann erhalte
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{\integral_{-2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}^{2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}{1 dx}dy} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{-1}^{1}{(\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{4
\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}dy}) dz}
[/mm]
subtituiere [mm] u=\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2} \rightarrow [/mm] du= [mm] \bruch{-y}{9}\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}dy
[/mm]
[mm] \integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{4
\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}dy}=\integral_{a}^{b}{4u\cdot \bruch{-y}{9} \cdot \bruch{1}{u} du} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{-4y}{9} du}
[/mm]
leider komme ich nicht weiter mit der substitution, da ein y steht, was nicht sein daarf. könnt ihr mir ein anderen verfahren zeigen sodass ich das intergral berechnen kann. aber ist bis jetzt was ich gemacht habe richtig ? ich bin für jede hilfe dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 14.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> dann erhalte
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{\integral_{-2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}^{2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}{1 dx}dy} dz}[/mm]
Der Ansatz ist grundsätzlich richtig, aber etwas aufwändig zu berechnen.
>
> [mm]=\integral_{-1}^{1}{(\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{4
\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}dy}) dz}[/mm]
>
> subtituiere [mm]u=\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2} \rightarrow[/mm]
> du=
> [mm]\bruch{-y}{9}\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}dy[/mm]
>
> [mm]\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{4
\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}dy}=\integral_{a}^{b}{4u\cdot \bruch{-y}{9} \cdot \bruch{1}{u} du}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{-4y}{9} du}[/mm]
>
> leider komme ich nicht weiter mit der substitution, da ein
> y steht, was nicht sein daarf. könnt ihr mir ein anderen
> verfahren zeigen sodass ich das intergral berechnen kann.
Ja, deine Substitution ist hier nicht erfolgversprechend.
Denke an das Integral [mm] $\integral{\wurzel{1-x^2}dx}$, [/mm] hier solltest du zB mit $x=sin(u)$ substituieren und danach [mm] $cos^2(u)=\frac{1}{2}*\left({cos(2*u)+1}\right)$ [/mm] verwenden.
Deinen allgemeineren Integranden müsstest du also umformen auf [mm] $\wurzel{1-a*x^2}$ [/mm] und dann mit [mm] $x=\wurzel{a}*sin(u)$ [/mm] substituieren.
Aus Symmetriegründen könntest du die jeweils untere Integralgrenze mit 0 annehmen und dafür das Ergebnis jeweils mit 2 multipliziern, was das Einsetzen zum Schluß doch etwas erleichtern kann.
Aber es geht doch auch einfacher. Du hast ein einschaliges Hyperboloid dessen Schnitte mit Ebenen normal zur z-Achse ($z=const.$) Ellipsen sind: $ [mm] \bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{9}=1+z^2 [/mm] $. Die halben Achsenlängen dieser Ellipsen sind [mm] $2*\wurzel{z^2+1}$ [/mm] und [mm] $3*\wurzel{z^2+1}$. [/mm] Die Fläche einer Ellipse ist bekanntermaßen das Produkt aus diesen beiden Halbachsenlängen und [mm] \pi. [/mm] Falls du diese Flächenformel verwenden darfst und nicht herleiten musst, gestaltet sich die Volumsberechnung denkbar einfach mit
[mm] $V=\integral_{-1}^{1}{\pi*6*\left({z^2+1}\right)}dz=12*\pi*\integral_{0}^{1}{\left({z^2+1}\right)}dz=\cdots=\underline{16*\pi} [/mm] $
Gruß RMix
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