Trägheitsmoment einer Kugel < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Sa 12.12.2009 | | Autor: | notinX |
Ich möchte das Trägheitsmoment einer Kugel berechnen, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis.
Das Trägheitsmoment ist wie folgt definiert:
[mm] $I=\int r^{2}\mathrm{dm}=\rho\int r^{2}\mathrm{dV}$
[/mm]
das Volumenelement lautet in Kugelkoordinaten:
[mm] $\mathrm{dV}=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{dr\,}\mathrm{d\theta}\,\mathrm{d\varphi}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow I=\rho\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^{4}\sin\theta\,\mathrm{dr\,}\mathrm{d\theta\,}\mathrm{d\varphi}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow I=\rho\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{R^{5}}{5}\sin\theta\,\mathrm{d\theta}\,\mathrm{d\varphi}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow I=\rho\int_{0}^{2\pi}\frac{2r^{5}}{5}\,\mathrm{d\varphi}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow I=\rho\frac{4\pi r^{5}}{5}$
[/mm]
mit [mm] $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ [/mm] erhalte ich:
[mm] $I=\frac{3}{5}mr^2$ [/mm] was leider nicht stimmt. Wo liegt mein Fehler?
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Hallo!
Dein R ist stets der Abstand eines Volumenelementes vom Ursprung.
Allerdings ist das Trägheitsmoment ja über den Abstand zur Drehachse definiert, das ist ein anderes r.
Soll heißen: in Kugelkoordinaten ist r²=x²+y²+z² während du eher r²=x²+y² für die Roation um die z-Achse benötigst...
Ersetze mal [mm] $r\mapsto r\sin\theta$, [/mm] dann sollte das klappen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 13.12.2009 | | Autor: | notinX |
Welches r soll ich durch [mm] $r\sin\theta$ [/mm] ersetzen? Im Volumenelement steckt doch schon [mm] $r\sin\theta$ [/mm] drin.
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Hallo!
Gut aufgepaßt! Das r im Volumenelement bleibt, wie es ist, das ist ein Gewichtungsfaktor, weil diese "Zwiebelschalenstücke" nach außen hin größer werden. Du mußt nur das nur für das r² aus der Definition des Trägheistmoments machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 13.12.2009 | | Autor: | notinX |
Ich verstehe nicht so ganz was Du meinst. Kannst Du mir bitte die korrigierte Gleichung die integriert werden muss nennen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 So 13.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich verstehe nicht so ganz was Du meinst. Kannst Du mir
> bitte die korrigierte Gleichung die integriert werden muss
> nennen?
Es geht nicht um eine korrigierte Gleichung. Du hast an zwei Stellen r geschreiben, obwohl es sich um verschiedene Größen handelt. In der Definitionsgleichung des Trägheitsmoments bedeutet das r den Abstand von der Drehachse. In deiner Integration in Kugelkoordinaten hast du das gleiche Symbol r für den Radius im Volumenelement verwendet.
Schreibe also zum Beispiel $r'$ für deine Integrationsvariable im Volumenelement(den Abstand vom Ursprung)!
[mm]I=\rho\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^{2} r'^2 \sin\theta\,\mathrm{dr'\,}\mathrm{d\theta\,}\mathrm{d\varphi} [/mm]
Wenn du die z-Achse als Drehachse nimmst, ist der Abstand von der Drehachse [mm] $r=r'\sin\theta$.
[/mm]
Damit sollte das richtige Ergebnis herauskommen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mo 14.12.2009 | | Autor: | notinX |
Jetzt hab ichs verstanden. Dankeschön.
mit [mm] $r\sin\theta$ [/mm] als senkrechtem Abstand kommt auch das richtige Ergebnis raus:
$ [mm] I=\rho\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^2(r\sin\theta)^2 \sin\theta\,\mathrm{dr\,}\mathrm{d\theta\,}\mathrm{d\varphi}=\rho\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^4\sin^3\theta\,\mathrm{dr\,}\mathrm{d\theta\,}\mathrm{d\varphi}=\frac{2}{5}MR^2$ [/mm] (mit [mm] $M=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi{r}^3$)
[/mm]
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