Trägheitsmoment einer Kugel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 So 28.05.2006 | | Autor: | TimBuktu |
Was meint ihr, wär das folgende ein Ansatz, um das Trägheitsmoment einer homogenen Vollkugel in kartesischen Koordinaten zu berechnen? Gruß
[mm] \integral_{x=-\wurzel{R^2-y^2-z^2}}^{\wurzel{R^2-y^2-z^2}}
{\integral_{y=-\wurzel{R^2-x^2-z^2}}^{\wurzel{R^2-x^2-z^2}}
{\integral_{z=-\wurzel{R^2-x^2-y^2}}^{\wurzel{R^2-x^2-y^2}}
{(x^2+y^2) dz} dy} dx} [/mm]
|
|
| |
|
Naja, die Integrationsgrenzen stimmen so nicht. Ich meine, wenn dein z wegintegriert wäre, würde es durch die Grenzen ja wieder in den Term hineinkommen.
Du integrierst in den drei Richtungen hintereinander. Erstmal durchläufst du die z-Richtung, also $ [mm] \integral_{-R}^{+R}{dz}$
[/mm]
Dann integrierst du in y-Richtung. y ist aber abhängig von z, und zwar über [mm] $y\in \left[ -\wurzel{R^2-z^2}; +\wurzel{R^2-z^2}\right]$
[/mm]
also
$ [mm] \integral_{-\wurzel{R^2-z^2}}^{+\wurzel{R^2-z^2}}{dy}$
[/mm]
Ebenso gehts dann weiter mit x, dafür gilt dann [mm] $x\in \left[ -\wurzel{R^2-z^2-y^2}; +\wurzel{R^2-z^2-y^2}\right]$
[/mm]
und
$ [mm] \integral_{-\wurzel{R^2-z^2-y^2}}^{+\wurzel{R^2-z^2-y^2}}{dz}$
[/mm]
Zusammen sieht das jetzt so aus:
$ [mm] \integral_{-R}^{+R}{dz}\integral_{-\wurzel{R^2-z^2}}^{+\wurzel{R^2-z^2}}{dy}\integral_{-\wurzel{R^2-z^2-y^2}}^{+\wurzel{R^2-z^2-y^2}}{dx} (x^2+y^2)$
[/mm]
Stör dich nicht an der Position der d's, das soll nur verdeutlichen, welche Grenzen wozu gehören. Man hätte auch klammern setzen können, aber so sieht man es auch öfters.
Wenn dir das nicht klar ist, zeichne dir nen Kreis. Du integrierst von links nach rechts, also über x von -R bis +R. Die Höhe y verläuft dann abhängig von x zwischen den beiden Wurzeltermen.
Du siehst: Nun integrierst du erstmal über x, das EInsetzen der Grenzen läßt dann nur noch einen (R,y,z)-Term stehen. nach der Integration über y und Einsetzen ist auch das y aus dem term verschwunden, es bleibt alleine das z, was zum Schluß verschwindet.
Als Vereinfachung können die Integrale immer von 0 an gehen, dafür muß man sie eben doppelt nehmen.
Somit steht der Ansatz, du kannst ihn auch gerne versuchen zu lösen, das ist aber ein sehr sehr steiniger Weg. Daher nimmt man sphärische Koordinaten, die sind zwar für dich vermutlich noch etwas ungewohnt, aber da kommt man problemloser zu den [mm] 5/2MR^2
[/mm]
|
|
|
|
