Trägheitsmoment < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Ares1982 |
diese frage wurde inkeinem forum gestelllt!
Hi@all,
ich studiere Maschinenbau im 4. Semester und habe in Physik ne Aufgabe bekommen, die ich nicht ganz lösen kann. Ich stelle sie euch mal vor:
Ein Zylindrischer Eisenkörper vom abgebildeten Querschnitt ( Masse=4112 g, Dichte= 7,7g/cm³, R= 5cm und der Höhe h= 10 cm) soll in 12 s auf eine Drehgeschwindigkeit (um die Schwerpunktachse) von 100 Umdrehungen/min gebracht werden. Wie groß muss das antreibende Drehmoment sein?
![[]](/images/popup.gif) http://www.ep3.rub.de/teaching/maschinenbau/index
auf der seite findet ihr die aufgabenstellung bei blatt 5 aufgabe 3. Da ist die zeichnung des Körpers. Ich weiß nicht, wie man hier bilder einfügt oder ob man das überhaupt machen kann.
Ich habe Schwierigkeiten das Trägheitsmoment des Körpers auszurechnen. Sonst ist die Aufgabe nicht schwierig.
Ich habe nur den Ansatz: Teta = [mm] \varepsilon [/mm] ( soll Dichte sein)*h [mm] \integral_{a}^{b}{r² dA} [/mm] . Aber, da der Körper, für mich so komisch ist, weiß ich nicht wie ich das ausrechnen soll.
Ich hoffe es weiß einer ne Antwort. Ich danke schon mal im vorraus. Bis denn!!!!
Ares
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Sa 28.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kriegsgott
3 Möglichkeiten
1. [mm] dA=r*d\phi*dr [/mm] denn [mm] r*d\phi [/mm] ist die Bogenlänge beim Radius r und dem Winkel [mm] d\phi.
[/mm]
dann über den inneren Radius von 0 bis [mm] r_{i} [/mm] und [mm] \phi [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi. [/mm] das aüßere Teil dazuaddiert, r von [mm] r_{i} [/mm] bis R und [mm] \phi [/mm] von 0 bis [mm] \bruch{150}{180}*\pi
[/mm]
2. Du kennst das Trägheitsmoment einer Scheibe, bzw Zylinder schon. daraus berechnest du, durch Subtraktion grosser minus kleiner Zylinder das Trägheitsmoment eines dicken Hohlzylinders, nimmst
150/360 davon, dann hast du das Außenteil. Dann musst du aber die Gesamtmasse richtig auf Innen- und Aussenteil verteilen, oder die Formeln nehmen, wo noch die Dichte drin ist!
3. Du nimmst das Trägheitsmoment des Vollen Zylinders bis aussen, und subtrahierst davon die Fehlenden Stücke Kreisring , das ist fast dasselbe wie 2.
Ich hoff, ich hab das Bild richtig gesehen, bei mir war es kaum zu ahnen, geahnt hab ich ne Kreisscheibe mit außen 3 50° "Flügeln" dran.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 29.05.2005 | | Autor: | Machi |
Hallo Ares,
eine interessante Aufgabe - habe mir gedacht, ich gehe sie auch mal durch.
das Massenträgheitsmoment Deines Köpers entspricht dem eines Zylinders, auf dem ein halber Hohlzylinder (3 mal 60° = 180°) angebracht ist.
Erstmal 3 allgemeine Dinge
[mm]J_x= \integral_{}^{}\integral_{}^{} \integral_{}^{} {r^2 dm} [/mm] (1)
[mm] dm=\rho dV[/mm] Dichte (einfach hinter den Schrägstrich rho schreiben)
wobei [mm]\rho=\bruch{m}{V}[/mm]
Jetzt wird die Formel zusammengebastelt (zum Glück sind die Flügel symmetrisch angebracht)
[mm]J_x= \integral_{}^{}\integral_{V}^{} \integral_{}^{} {r^2\rho dV} [/mm][mm]= \bruch{\integral_{}^{}\integral_{V}^{} \integral_{}^{} {mr^2 dV}}{ \integral_{}^{}\integral_{V}^{} \integral_{}^{} {dV}} [/mm][mm]= \bruch{m\integral_{}^{}\integral_{V}^{} \integral_{}^{} {r^2 dV}}{ \integral_{}^{}\integral_{V}^{} \integral_{}^{} {dV}}[/mm] (2)
Das Trägheitsmoment setzt sich ja zusammen. Einmal Zylinder + 3 mal Sechstel Zylinder bzw. ein Halber Zylinder (zum Glück sind die Flügel symmetrisch angebracht, sonst müssten wir noch den gemeinsamen Schwerpunkt bestimmen, so bleibt es der Mittelpunkt)
Jetzt teile ich die Sache mal, damit es leichter nach zu vollziehen ist...
Der Vollzylinder in der Mitte
Intergral des Nenners von Gleichung 2.
[mm]\integral_{}^{}\integral_{V}^{} \integral_{}^{} {dV} = \integral_{r}^{}\integral_{\phi}^{} \integral_{z}^{} {r drd\phi dz}[/mm]
[mm] \integral_{0}^{r_i}\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{h} {r drd\phi dz}[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {d\phi} = 2\pi[/mm]
[mm]\integral_{0}^{h} {dz} = h[/mm]
[mm] \integral_{0}^{r_i} {r dr} = \bruch{1}{2}r_i^2[/mm]
[mm] \integral_{0}^{r_i}\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{h} {r drd\phi dz} = \pi h r_i^2[/mm]
Weiter geht mit dem Zähler
[mm]\integral_{}^{}\integral_{V}^{} \integral_{}^{} {r^2 dV} = [/mm][mm] \integral_{0}^{r_i}\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{h} {r ^2\cdot r drd\phi dz}[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {d\phi} = 2\pi[/mm]
[mm]\integral_{0}^{h} {dz} = h[/mm]
[mm] \integral_{0}^{r_i} {r^3 dr} = \bruch{1}{4}r_i^4[/mm]
[mm] \integral_{0}^{r_i}\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{h} {r ^2\cdot r drd\phi dz}= \bruch{1}{2}r_i^4 h \pi [/mm]
Nun setzt man die Teile in die Gleichung 2 ein und kürzt sie
[mm]J_1 = \bruch{1}{2} m r^2_i[/mm] (3)
Nun geht es mit dem halben Hohlzylinder weiter.
Wieder das Nennerintegral zuerst.
[mm] \integral_{r_i}^{R_a}\integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{h} {r drd\phi dz}[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi} {d\phi} = \pi[/mm]
[mm]\integral_{0}^{h} {dz} = h[/mm]
[mm] \integral_{r_i}^{R_a} {r dr} = \bruch{1}{2} (R_a^2 - r_i^2) [/mm]
[mm] \integral_{r_i}^{R_a}\integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{h} {r drd\phi dz} =\bruch{1}{2} (R_a^2 - r_1^2) h \pi[/mm]
Zähler:
[mm] \integral_{r_i}^{R_a}\integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{h} {r ^2\cdot r drd\phi dz}[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi} {d\phi} = \pi[/mm]
[mm]\integral_{0}^{h} {dz} = h[/mm]
[mm] \integral_{r_i}^{R_a} {r^3 dr} = \bruch{1}{4} (R_a^4 - r_i^4) [/mm]
[mm] \integral_{r_i}^{R_a}\integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{h} {r ^2\cdot r drd\phi dz} = \bruch{1}{4} (R_a^4 - r_i^4) h \pi = \bruch{1}{4} (R_a^2 - r_i^2) (R_a^2 + r_i^2) h \pi[/mm]
Wieder beide Teile in 2 einsetzen und kürzen:
[mm]J_2 = \bruch{1}{2} m (R_a^2 + r_i^2) [/mm] (4)
Nun werden 3 und 4 addiert
[mm]J_{ges} = J_1 + J_2 [/mm]
man erhält nach dem Kürzen:
[mm]\bruch{1}{2}m\left( R_a^2 + 2 r_1^2 \right)[/mm]
Allerdings ist [mm] r_i [/mm] unbekannt - wenn die Zeichnung Proportionengerecht währe (steht ja nicht dran), dann könnte man annehmen, dass [mm] r_i=\bruch {1}{2}R_a [/mm] ist....
Vielleicht habe ich ja irgendwo eine Chance zu Kürzen übersehen?
CU Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hi,
ich denke, dass ich damit was anfangen kann. Ich danke euch für die schnelle antwort.
Ares
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