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| Aufgabe | Eine Murmel mit dem Radius 1 cm ruht auf dem oberen Pol einer großen Kugel mit dem Radius 80 cm und rollt dann hinunter. Die Kugel ist fixiert.
Nehmen Sie an, dass die Murmel rollt, ohne zu gleiten, solange sie die Kugel berührt (was unrealistisch ist). Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Pol der Kugel und dem Punkt, an dem die Murmel die Kugeloberflache nicht mehr berührt. |
Hallo,
im Losungsbuch steht nun folgendes:
Wir bezeichnen den Radius der Kugel mit [mm] r_k. [/mm] Die Murmel hat den Radius r und die Massen m. An dem Ort wo die Murmel die Kugel verlässt setzen wir die potentielle Energie gleich null. Über die Energieerhaltung kommen wir somit auf folgenden Zusammenhang:
[mm] E_{pot,A}=E_{kin,E}
[/mm]
[mm] -mg(r_K+r-(r_K+r)cos\phi)=\br{1}{2}mv^2+\br{1}{2}I\omega^2
[/mm]
Weil die Murmel rollt und nicht gleitet können wir [mm] \omega [/mm] durch [mm] v^2/r^2 [/mm] ersetzen. Außerdem gilt [mm] I=\br{2}{5}mr^2.
[/mm]
Nach diversen Umstellungen kommen wir nun auf:
[mm] v^2=\br{7}{10}g(r_K+r)(1-cos\phi)
[/mm]
Bis hierhin habe ich es einigermaßen verstanden. Folgenden Zusammenhang verstehe ich nicht so ganz:
Mit der Beziehung [mm] \Sigma F_r=ma_r [/mm] gilt für die Murmel im Augenblick des Ablösens von der Kugel:
[mm] mgcos\phi=m\br{v^2}{r_K+r}
[/mm]
Kann mir jemand diesen Ausdruck physikalisch erklären?
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Hallo!
Diese Formel beschreibt grade die Lösungsidee selbst: Die Murmel bleibt so lange auf der Kugel, wie die Gesamtkraft in Richtung Kugel zeigt.
Rechts steht die Zentripedalkraft auf die Murmel beim Weg um die Kugel. Die zeigt radial vom Kugelmittelpunkt weg.
Links steht der Anteil der Gravitation, der genau in Richtung Kugelmittelpunkt zeigt, und naturlich winkelabhängig ist. (Die Kräfte wirken natürlich auf die Murmel)
Ab dem Punkt, an dem beide gleich groß sind, hebt die Murmel ab.
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