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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie,dass sich alle Ebenen der Schar [mm] E_{a}:2ax+(4-a)*y-2z=6 [/mm] in einer Gerade schneiden.Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Trägergeraden und bestimmen Sie eine Ebene,die ebenfalls die Trägergerade enthält,aber nicht zur Ebenenschar gehört. |
Hallo zusammen^^
Ich bekomme bei dieser Aufgabe etwas gnaz komisches raus,deswegen glaube ich,dass das nicht stimmt.Aber ich weiß nicht,wo mein Fehler liegt.
Ich hab mir zunächst zwei verschiedene Ebenen [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] genommen.
[mm] E_{a_{1}}:2a_{1}x+(4-a_{1})*y-2z=6
[/mm]
[mm] E_{a_{2}}:2a_{2}x+(4-a_{2})*y-2z=6
[/mm]
Und hab dann von [mm] E_{a_{2}} [/mm] die Prametergleichung ebstimmt.Dazu hab ich mir die 3 Punkte A(0/0/-3), [mm] B(1/0/a_{2}-3) [/mm] und [mm] C(0/1/-1-0.5a_{2}) [/mm] genommen:
[mm] E_{a_{2}}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ -3}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ a_{2}}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 2-0.5a_{2}}.
[/mm]
Dann hab ich die Koordinaten von [mm] E_{a_{2}}, [/mm] x=r,y=s und [mm] z=-3+a_{2}*r+2s-0.5a_{2}*s [/mm] in die Koordinatenform von [mm] E_{a_{1}} [/mm] eingesetzt und hab [mm] r=-0.5s*\bruch{a_{2}-a_{1}}{a_{1}-a_{2}} [/mm] rausbekommen und das in die Prametergleichung von [mm] E_{a_{2}} [/mm] eingesetzt.Als Trägergerade hab ich [mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ -3}+s\cdot{}\vektor{-0.5s*\bruch{a_{2}-a_{1}}{a_{1}-a_{2}} \\ 1 \\ -0.5s*\bruch{(a_{2})^{2}-a_{1}*a_{2}}{a_{1}-a_{2}}*2-0.5a_{2}} [/mm] raus.Das kann irgendwie nicht stimmen,weill das so ein riesiger Ausdruck ist.Ich weiß aber nicht wo mein Fehler liegt.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mo 13.04.2009 | | Autor: | weduwe |
ich hätte es etwas anders versucht:
[mm]E_{a1}-E_{a2}\to \quad{ } 2x-y=0[/mm]
daher x = t und y = 2t
in [mm] E_{a1} [/mm] einsetzen ergibt z = 4t - 3
und damit
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\-3}+t\vektor{1\\2\\4}
[/mm]
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Wie kommst du da drauf? Und wieso funktioniert das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Di 14.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der "Trick" ist der, dass du die Schnittgearde zweier Ebenen der Schar suchst, also von [mm] E_{a_{1}} [/mm] und [mm] E_{a_{2}}
[/mm]
Das ergibt ein LGS mit zwei Gleichungen (Die Ebenengleichungen) und drei Unbekannten (x,y und z)
Also:
[mm] \vmat{2a_{1}x+(4-a_{1})y-2z=6\\2a_{2}x+(4-a_{2})y-2z=6}
[/mm]
Und diese GLS ist unterbestimmt, hat also eine parameterabhänignge Lösung, und das kann man, wie weduwe erwähnt, zu einer Geraden umformen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 14.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Der "Trick" ist der, dass du die Schnittgearde zweier
> Ebenen der Schar suchst, also von [mm]E_{a_{1}}[/mm] und [mm]E_{a_{2}}[/mm]
>
> Das ergibt ein LGS mit zwei Gleichungen (Die
> Ebenengleichungen) und drei Unbekannten (x,y und z)
>
> Also:
>
> [mm]\vmat{2a_{1}x+(4-a_{1})y-2z=6\\2a_{2}x+(4-a_{2})y-2z=6}[/mm]
>
> Und diese GLS ist unterbestimmt, hat also eine
> parameterabhänignge Lösung, und das kann man, wie weduwe
> erwähnt, zu einer Geraden umformen.
>
Ok,ich versteh aber nicht,wie weduwe da drauf kommt,dass [mm] E_{a_{1}}-E_{a_{2}} [/mm] --> 2x-y=0 ist???
lg
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Hallo Mandy,
> Hallo,
>
>
> > Der "Trick" ist der, dass du die Schnittgearde zweier
> > Ebenen der Schar suchst, also von [mm]E_{a_{1}}[/mm] und [mm]E_{a_{2}}[/mm]
> >
> > Das ergibt ein LGS mit zwei Gleichungen (Die
> > Ebenengleichungen) und drei Unbekannten (x,y und z)
> >
> > Also:
> >
> > [mm] $\red{\vmat{2a_{1}x+(4-a_{1})y-2z=6\\2a_{2}x+(4-a_{2})y-2z=6}}$
[/mm]
> >
> > Und diese GLS ist unterbestimmt, hat also eine
> > parameterabhänignge Lösung, und das kann man, wie weduwe
> > erwähnt, zu einer Geraden umformen.
> >
>
> Ok,ich versteh aber nicht,wie weduwe da drauf kommt,dass
> [mm]E_{a_{1}}-E_{a_{2}}[/mm] --> 2x-y=0 ist???
Na, du hast doch die beiden Gleichungen direkt oberhalb stehen. Ich habe sie rot gemakert
Rechne doch mal Gleichung1-Gleichung2 aus ...
>
>
> lg
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Di 14.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja wenn ich das mache,hab ich doch [mm] 2a_{1}x-2a_{2}x+(4-a_{1})y-(4-a_{2})y=0 [/mm] ???
lg
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Hallo nochmal,
> Ja wenn ich das mache,hab ich doch
> [mm]2a_{1}x-2a_{2}x+(4-a_{1})y-(4-a_{2})y=0[/mm] ??? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun schön zusammenfassen, nach x und y sortieren, und dann [mm] $(a_1-a_2)$ [/mm] ausklammern.
Bedenke dann, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Da [mm] $a_1\neq a_2$ [/mm] ist, ist [mm] $a_1-a_2\neq [/mm] 0$, also muss der Rest, der beim Ausklammern bleibt, 0 sein ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Di 14.04.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mandy_90,
> Zeigen Sie,dass sich alle Ebenen der Schar
> [mm]E_{a}:2ax+(4-a)*y-2z=6[/mm] in einer Gerade schneiden.Bestimmen
> Sie eine Gleichung dieser Trägergeraden und bestimmen Sie
> eine Ebene,die ebenfalls die Trägergerade enthält,aber
> nicht zur Ebenenschar gehört.
> Hallo zusammen^^
> Ich bekomme bei dieser Aufgabe etwas gnaz komisches
> raus,deswegen glaube ich,dass das nicht stimmt.Aber ich
> weiß nicht,wo mein Fehler liegt.
>
> Ich hab mir zunächst zwei verschiedene Ebenen [mm]a_{1}[/mm] und
> [mm]a_{2}[/mm] genommen.
>
> [mm]E_{a_{1}}:2a_{1}x+(4-a_{1})*y-2z=6[/mm]
>
> [mm]E_{a_{2}}:2a_{2}x+(4-a_{2})*y-2z=6[/mm]
>
> Und hab dann von [mm]E_{a_{2}}[/mm] die Prametergleichung
> ebstimmt.Dazu hab ich mir die 3 Punkte A(0/0/-3),
> [mm]B(1/0/a_{2}-3)[/mm] und [mm]C(0/1/-1-0.5a_{2})[/mm] genommen:
>
> [mm]E_{a_{2}}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ -3}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ a_{2}}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 2-0.5a_{2}}.[/mm]
>
> Dann hab ich die Koordinaten von [mm]E_{a_{2}},[/mm] x=r,y=s und
> [mm]z=-3+a_{2}*r+2s-0.5a_{2}*s[/mm] in die Koordinatenform von
> [mm]E_{a_{1}}[/mm] eingesetzt und hab
> [mm]r=-0.5s*\bruch{a_{2}-a_{1}}{a_{1}-a_{2}}[/mm] > rausbekommen und
Hier kannst Du noch weiterrechnen:
[mm] r=-0.5s*\bruch{a_{2}-a_{1}}{a_{1}-a_{2}} = 0,5s [/mm], denn
$ [mm] a_2 [/mm] - [mm] a_1 [/mm] = - [mm] (a_1-a_2) [/mm] $
> das in die Prametergleichung von [mm]E_{a_{2}}[/mm] eingesetzt.Als
> Trägergerade hab ich [mm]g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ -3}+s\cdot{}\vektor{-0.5s*\bruch{a_{2}-a_{1}}{a_{1}-a_{2}} \\ 1 \\ -0.5s*\bruch{(a_{2})^{2}-a_{1}*a_{2}}{a_{1}-a_{2}}*2-0.5a_{2}}[/mm]
> raus.Das kann irgendwie nicht stimmen,weill das so ein
> riesiger Ausdruck ist.Ich weiß aber nicht wo mein Fehler
> liegt.
Du hast keinen gemacht, nur halt nicht weit genug vereinfacht.
Gruß
Sigrid
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> Kann mir da jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank
>
> lg
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