Totales Differenzial < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Der Punkt [mm] \(P(x;y;z) [/mm] besitzt vom Koordinatenursprung O den Abstand [mm] r(x;y;z)=\wurzel{x^2+y^2+z^2}. [/mm] Wie ändert sich der Abstand des Punktes [mm] \(A(2;1;3) [/mm] ,wenn man ihn in den Punkt [mm] \(B(1,8;0,9;3,3) [/mm] verschiebt?
Hinweis: Ermitteln Sie die Lösung näherungsweise durch Verwendung des totalen Differenzials [mm] \(dr=r_xdx+r_ydy+r_zdz [/mm] und vergleichen Sie sie mit dem exakten Wert.
Lösung: [mm] \(dr=0,107 [/mm] ; [mm] \Delta [/mm] r=0,124 |
puhhhh, da weis ich mal absolut nicht bescheid wie ich da ansetzen soll!!!
Meine Überlegung:
Schritt 1: ich bilde zuerst mal [mm] r_x, r_y [/mm] und [mm] r_z: [/mm]
[mm] r_x: [/mm] Substitution:
[mm] u=x^2+y^2+z^2
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=2x
[/mm]
[mm] \bruch{dr}{du}=\bruch{1}{2*\wurzel{u}}
[/mm]
[mm] \bruch{dr}{dx}=\bruch{dr}{du}*\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2*\wurzel{u}}*2x=\bruch{x}{\wurzel{u}}=\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
Die anderen ergeben sich durch die gleiche Substitution:
[mm] r_y:
[/mm]
[mm] \bruch{dr}{dy}=\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
[mm] r_z:
[/mm]
[mm] \bruch{dr}{dz}=\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
Schritt 2: Berechnung von [mm] \(dr [/mm] :
[mm] \(dr=r_xdx+r_ydy+r_zdz=\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
dx}+\integral_{}^{}{\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
dx}
[/mm]
Schritt 3: ???
hier weis ich nicht weiter! Kann mir jemand schlaues helfen? Is für mich nicht so einfach!!! Besten dank für eure Hilfe (schonmal hier!)!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Wir rechnen das ganze ja nur näherungsweise.
$ [mm] r_x=\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} [/mm] = [mm] \frac{x}{r} [/mm] $
durch Nachdifferenzieren; [mm] $r_y [/mm] = [mm] \frac{y}{r}$ [/mm] und [mm] $r_z [/mm] = [mm] \frac{z}{r}$ [/mm] analog wegen Symmetrie.
Für A gilt jetzt:
[mm] $r(A)=\sqrt{14}$
[/mm]
$x(A)=2,\ y(A)=1,\ z(A)=3$
[mm] $B-A=\pmat{dx\\dy\\dz}=\pmat{-0.2\\ -0.1\\0.3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] dr = [mm] \frac{x}{r}\ [/mm] dx + [mm] \frac{y}{r}\ [/mm] dy+ [mm] \frac{z}{r}\ [/mm] dz=$
$ = [mm] \frac{2}{\sqrt{14}}*(-0.2) [/mm] + [mm] \frac{1}{\sqrt{14}}*(-0.1)+ \frac{3}{\sqrt{14}}*0.3$
[/mm]
|
|
|
|
